Τύπος συνάρτησης

pito · #1

Έστω η συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ , συνεχής στα 0 και 1 για την οποία ισχύει $f(x)=f(x^{2})$ για κάθε

πραγματικό. Να βρεθεί ο τύπος της

.

#2

pito έγραψε:Έστω η συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ , συνεχής στα 0 και 1 για την οποία ισχύει $f(x)=f(x^{2})$ για κάθε πραγματικό. Να βρεθεί ο τύπος της .

Απάντηση: Είναι σταθερή. Πρώτα δείχνουμε ότι είναι σταθερή στο (-1,1)

και επίσης σταθερή (ενδεχομένως με άλλη τιμή) στο $(-\infty, \, -1] \cup [1, \infty)$ . Τέλος, λόγω συνέχειας στο

οι δύο στεθερές συμπίπτουν.

Έστω $0\le a <1$ . Τότε η ακολουθία $a^{2^n}$ συγκλίνει στο

. Αλλά εξ υποθέσεως $f(a) = f(a^2) = f(a^4) = ... = f(a^{2^n})=... \to f(0)$ . Άρα f(a)=f(0)

. Όμοια αν a>1

αλλά τώρα εξετάζουμε τα $a, \sqrt a, \sqrt[4] a, ...$ που συγκλίνουν στο

και $f(a)= f(\sqrt a)= f(\sqrt[4] a) = ... = f(\sqrt[2^n]{a})= ... \to f(1)$ .
Τα αρνητικά

έχουν τις τιμές που αναφέραμε γιατί f(x)=f(x^2)

,

και τα

είναι συγχρόνως μικρότερα ή μεγαλύτερα του

.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: έκανα μία διόρθωση συμπληρώνοντας μία παράλειψή μου.

pito · #3

Σας ευχαριστώ πολύ την ίδια λύση έχω και εγώ , ήθελα να δω αν υπάρχει και άλλος τρόπος.

#4

....και μία μεταμεσονύκτια προσπάθεια στο απαιτητικό θέμα της pito...

Από $f(x)=f({{x}^{2}})$ για κάθε $x\in R$ θα ισχύει $f(x)=f({{x}^{2}})=f({{x}^{4}})=...f({{x}^{2v}})$ άρα και $f(x)=f({{x}^{2v}}),\,\,v\in {{N}^{*}}$

Για $0<\left| x \right|<1\Leftrightarrow 0<{{x}^{2}}<1$ επειδή $\underset{v\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{({{x}^{2}})}^{v}}=0$ και

συνεχής στο

θα ισχύει $\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}^{2v}})=f(0)$ άρα

$f(x)=f(0),\,\,\,0<\left| x \right|<1$ , $x\ne 0$

Επίσης επειδή για κάθε x>0

ισχύει $f(\sqrt{x})=f(x)$ άρα και

$f(\sqrt[2v]{x})=...=f(\sqrt[4]{x})=f(\sqrt{x})=f(x)$ θα είναι $f(x)=f({{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}})$ με $v\in {{N}^{*}}$ Για $\left| x \right|>1\Leftrightarrow {{x}^{2}}>1$ επειδή $\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}}=1$ και και

συνεχής στο

θα ισχύει $\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}})=f(1)$ άρα $f(x)=f(1),\,\,\,\left| x \right|>1$

Επειδή τώρα είναι συνεχής στο 0 και το 1 από τους τύπους που προέκυψαν πρέπει f(0)=f(1)

επομένως η $f(x)=c,\,\,c\in R$

με πρόλαβε ο Μιχάλης...αλλά την αφήνω σαν πιο σχολική λύση...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

pito · #5

Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας. Θα ήθελα ακόμα να ευχαριστήσω δημόσια και τον κύριο Λουρίδα, από τον οποίο γνώρισα αυτή την όμορφη άσκηση (κάτι που ξέχασα λανθασμένα να επισημάνω από την αρχή )όπως και πολλές άλλες αλλα και αυτό το υπέροχο site-θησαυρό!

Τύπος συνάρτησης

Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση