Σελίδα 1 από 1

Τύπος συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 29, 2011 10:32 pm
από pito
Έστω η συνάρτηση f: R\rightarrow R, συνεχής στα 0 και 1 για την οποία ισχύει f(x)=f(x^{2}) για κάθε x πραγματικό. Να βρεθεί ο τύπος της f.

Re: Τύπος συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 30, 2011 12:41 am
από Mihalis_Lambrou
pito έγραψε:Έστω η συνάρτηση f: R\rightarrow R, συνεχής στα 0 και 1 για την οποία ισχύει f(x)=f(x^{2}) για κάθε x πραγματικό. Να βρεθεί ο τύπος της f.
Απάντηση: Είναι σταθερή. Πρώτα δείχνουμε ότι είναι σταθερή στο (-1,1) και επίσης σταθερή (ενδεχομένως με άλλη τιμή) στο (-\infty, \, -1] \cup [1, \infty). Τέλος, λόγω συνέχειας στο 1 οι δύο στεθερές συμπίπτουν.

Έστω 0\le a <1. Τότε η ακολουθία a^{2^n} συγκλίνει στο 0. Αλλά εξ υποθέσεως f(a) = f(a^2) = f(a^4) = ... = f(a^{2^n})=... \to f(0). Άρα f(a)=f(0). Όμοια αν a>1 αλλά τώρα εξετάζουμε τα a, \sqrt a, \sqrt[4] a, ... που συγκλίνουν στο 1 και f(a)= f(\sqrt a)= f(\sqrt[4] a) = ... = f(\sqrt[2^n]{a})= ... \to f(1).
Τα αρνητικά x έχουν τις τιμές που αναφέραμε γιατί f(x)=f(x^2), x^2>0 και τα |x|, |x^2| είναι συγχρόνως μικρότερα ή μεγαλύτερα του 1.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: έκανα μία διόρθωση συμπληρώνοντας μία παράλειψή μου.

Re: Τύπος συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 30, 2011 12:45 am
από pito
Σας ευχαριστώ πολύ την ίδια λύση έχω και εγώ , ήθελα να δω αν υπάρχει και άλλος τρόπος.

Re: Τύπος συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 30, 2011 12:56 am
από KAKABASBASILEIOS
....και μία μεταμεσονύκτια προσπάθεια στο απαιτητικό θέμα της pito...

Από f(x)=f({{x}^{2}})για κάθε x\in Rθα ισχύει f(x)=f({{x}^{2}})=f({{x}^{4}})=...f({{x}^{2v}})άρα και f(x)=f({{x}^{2v}}),\,\,v\in {{N}^{*}}

Για 0<\left| x \right|<1\Leftrightarrow 0<{{x}^{2}}<1 επειδή \underset{v\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{({{x}^{2}})}^{v}}=0 και f συνεχής στο 0 θα ισχύει \underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}^{2v}})=f(0) άρα

f(x)=f(0),\,\,\,0<\left| x \right|<1, x\ne 0

Επίσης επειδή για κάθε x>0 ισχύει f(\sqrt{x})=f(x) άρα και

f(\sqrt[2v]{x})=...=f(\sqrt[4]{x})=f(\sqrt{x})=f(x) θα είναι f(x)=f({{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}}) με v\in {{N}^{*}} Για \left| x \right|>1\Leftrightarrow {{x}^{2}}>1 επειδή \underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}}=1και και f

συνεχής στο 1 θα ισχύει \underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{v\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{({{x}^{2}})}^{\frac{1}{v}}})=f(1) άρα f(x)=f(1),\,\,\,\left| x \right|>1

Επειδή τώρα είναι συνεχής στο 0 και το 1 από τους τύπους που προέκυψαν πρέπει f(0)=f(1) επομένως η f(x)=c,\,\,c\in R

με πρόλαβε ο Μιχάλης...αλλά την αφήνω σαν πιο σχολική λύση...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Τύπος συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 31, 2011 12:45 pm
από pito
Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας. Θα ήθελα ακόμα να ευχαριστήσω δημόσια και τον κύριο Λουρίδα, από τον οποίο γνώρισα αυτή την όμορφη άσκηση (κάτι που ξέχασα λανθασμένα να επισημάνω από την αρχή )όπως και πολλές άλλες αλλα και αυτό το υπέροχο site-θησαυρό!