Έστω οι συναρτήσεις .....

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Έστω οι συναρτήσεις .....

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Οκτ 30, 2011 10:33 pm

Έστω οι συναρτήσεις

\begin{array}{*{20}c} 
   {f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;\mu \varepsilon \;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f^3 (x) - g^3 (x)} \right) = 0\;\kappa \alpha \iota \;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f(x)  g(x)} \right) = 0,}  \\ 
   {\upsilon \pi o\lambda o\gamma \dot \iota \sigma \alpha \tau \varepsilon \;\tau \alpha \;\dot o\rho \iota \alpha :\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right).}  \\ 
 
 \end{array}



S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Έστω οι συναρτήσεις .....

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Οκτ 30, 2011 11:14 pm

S.E.Louridas έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις

\begin{array}{*{20}c} 
   {f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;\mu \varepsilon \;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f^3 (x) - g^3 (x)} \right) = 0\;\kappa \alpha \iota \;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f(x)  g(x)} \right) = 0,}  \\ 
   {\upsilon \pi o\lambda o\gamma \dot \iota \sigma \alpha \tau \varepsilon \;\tau \alpha \;\dot o\rho \iota \alpha :\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right).}  \\ 
 
 \end{array}

S.E.Louridas
Έχουμε

\displaystyle{0\leq f^6(x)\leq f^6(x)+g^6(x)=(f^3(x)-g^3(x))^2+2(f(x)g(x))^3}

για κάθε x\in \mathbb{R}. Παίρνοντας x\to +\infty το κριτήριο παραμβολής μας δίνει

\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f^6(x)=0}, κι άρα \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}|f(x)|=0}.

Ομοίως, \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}|g(x)|=0}.

Συνεπώς, \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}g(x)=0}.


Φιλικά,

Αχιλλέας


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Έστω οι συναρτήσεις .....

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 30, 2011 11:15 pm

S.E.Louridas έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις

\begin{array}{*{20}c} 
   {f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;\mu \varepsilon \;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f^3 (x) - g^3 (x)} \right) = 0\;\kappa \alpha \iota \;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f(x)  g(x)} \right) = 0,}  \\ 
   {\upsilon \pi o\lambda o\gamma \dot \iota \sigma \alpha \tau \varepsilon \;\tau \alpha \;\dot o\rho \iota \alpha :\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right).}  \\ 
 
 \end{array}
0\le \left( f^3(x) + g^3(x) \right) ^2 =  \left( f^3(x)  -g^3(x) \right) ^2  +4 (f(x)g(x))^3 \to 0^2+4\cdot 0^3=0

Άρα και f^3(x) + g^3(x)  \to 0. Μαζί με την f^3(x) - g^3(x)  \to 0 και πρόσθεση κατά μέλη, έχουμε f^3(x)   \to 0 και άρα f(x)   \to 0. Όμοια για την g.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες