Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Οκτ 31, 2011 12:53 pm

Αν a,b είναι πραγματικοί αριθμοί με a<b και f:[a,b] \to \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση ώστε

f(a) \neq f(b) και \displaystyle{f\left(\frac {a+b}{2}\right) \ge \frac {b-a}{2}+max \{f(a),f(b)\}}

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο M στη γραφική παράσταση της f με \displaystyle{A \widehat MB= \frac {\pi}{2}}, όπου A(a,f(a)) και B(b,f(b))


Σπύρος Καπελλίδης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Οκτ 31, 2011 2:50 pm

s.kap έγραψε:Αν a,b είναι πραγματικοί αριθμοί με a<b και f:[a,b] \to \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση ώστε

f(a) \neq f(b) και \displaystyle{f\left(\frac {a+b}{2}\right) \ge \frac {b-a}{2}+max \{f(a),f(b)\}}

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο M στη γραφική παράσταση της f με \displaystyle{A \widehat MB= \frac {\pi}{2}}, όπου A(a,f(a)) και B(b,f(b))
Kαταρχήν από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει x_0\in\left(a,b \right) ώστε το f\left( x_0\right) να είναι ανάμεσα στους f(a),f(b).
Μάλιστα το x_0\in\left(a,b \right), θα είναι λόγω της υποθέσεως τέτοιο ώστε \displaystyle{x_0\neq \frac{a+b}{2}.}

Θέτουμε g(x)=\left[f(x)-f(a) \right]\left[f(x)-f(b) \right]+\left(x-a \right)\left(x-b \right)

Είναι g(x_0)=\left[f(x_0)-f(a) \right]\left[f(x_0)-f(b) \right]+\left(x_0-a \right)\left(x_0-b \right)<0 λόγω της επιλογής του x_0.

Ακόμα \displaystyle{g(\frac{a+b}{2})=\left[f(\frac{a+b}{2})-f(a) \right]\left[f(\frac{a+b}{2})-f(b) \right]-\left(\frac{b-a}{2} \right)^2> 0}.

Άρα υπάρχει \xi στο \left(a,b \right) ώστε g\left( \xi \right)=0.

Άρα \displaystyle{\frac{f(\xi)-f(a) }{\xi -a}\cdot \frac{f(\xi)-f(b) }{\xi -b}=-1.} Το (\xi ,f(\xi )) είναι ένα τέτοιο σημείο.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Νοέμ 01, 2011 1:34 pm

Ας δούμε και αυτόν τον τρόπο:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι f(a)<f(b) και θεωρούμε τη συνάρτηση

h(x)=\vec{AM} \cdot \vec{BM}=(x-a)(x-b)+(f(x)-f(a))(f(x)-f(b)), x \in [a,b], όπου M(x,f(x))

Αν δεν υπάρχει τέτοιο σημείο στη γραφική παράσταση της f, τότε θα πρέπει h(x) \neq 0,\ \forall x \in (a,b)

και επειδή (εύκολα με πράξεις) h\left(\frac {a+b}{2}\right) \ge 0, θα έχουμε

h(x)>0,\ \forall x \in (a,b)

\Rightarrow (f(x)-f(a))(f(x)-f(b))>-(x-a)(x-b)>0,\ \forall x \in (a,b)

\Rightarrow f(x)<f(a) \vee f(x)>f(b),\ \forall x \in (a,b), δηλαδή στο διάστημα (f(a),f(b))

δεν υπάρχει τιμή της f, άτοπο.


Σπύρος Καπελλίδης
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Τρί Νοέμ 01, 2011 1:57 pm

Αλλιώς αν f(b)> f(a) χωρίς βλάβη, μπορούμε να φέρουμε τον κυκλικό τμήμα-συνάρτηση που αρχίζει απο το Β με κέντρο το Τ(μέσο του ΑΒ) και ακτίνα ΤΒ μέχρι να τμήσει την ευθεία x=a. Από την κατασκευή, η f είναι κάτω της συνάρτησης στο x=a, και από την συνθήκη, πιο ψηλά στο x=(a+b)/2. Από ΘΕΤ θα υπάρχει τομή οπότε
M=(x_0,f(x_0)) στο ημικύκλιο που θα βλέπει με 90 μοίρες το AB.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης