ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Νοέμ 02, 2011 10:15 am

...Καλημέρα :logo: μία χθεσινή εμπνευση...

Έστω \beta ,\gammaοι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα \alpha και \hat{B}>\frac{\pi }{4} τότε:

α) Αν f(x)=\frac{{{\beta }^{\chi }}-{{\alpha }^{\chi }}-{{\gamma }^{\chi }}}{{{\beta }^{\chi }}+{{\gamma }^{\chi }}-{{\alpha }^{\chi }}} να βρεθούν αν υπάρχουν τα όρια, \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x), \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) και \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)

β) Αν g(x)=\frac{{{x}^{2}}-2x(\eta \mu \frac{\pi x}{4}+1)+4\eta \mu \frac{\pi x}{4}}{{{\beta }^{\chi }}+{{\gamma }^{\chi }}-{{\alpha }^{\chi }}} να βρεθεί αν υπάρχει το \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g(x)(…χωρίς χρήση του del’Hospital)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Νοέμ 02, 2011 11:07 am

Αφού a είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AB \Gamma και \displaystyle{\hat{B}>\frac{\pi }{4}}, έχουμε ότι: a > \beta > \gamma.

α) Για x>2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{a^x \left( \left(\frac{\beta}{a} \right )^x-1-\left(\frac{\gamma}{a} \right )^x \right )}{a^x \left( \left(\frac{\beta}{a} \right )^x+\left(\frac{\gamma}{a}\right )^x -1 \right )}=1}.

Για x<2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\gamma^x \left( \left(\frac{\beta}{\gamma} \right )^x-\left(\frac{a}{\gamma} \right )^x -1\right )}{\gamma^x \left( \left(\frac{\beta}{\gamma} \right )^x+1-\left(\frac{a}{\gamma}\right )^x \right )}=-1}.

Για x>2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^+}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=+\infty,
αφού ο αριθμητής είναι αρνητικός, ο παρονομαστής αρνητικός και το όριο του παρονομαστή 0.

Για x<2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^-}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=-\infty,
αφού ο αριθμητής είναι αρνητικός, ο παρονομαστής θετικός και το όριο του παρονομαστή 0.

Επομένως δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 2.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Απρ 15, 2012 2:46 pm

επαναφορά για το β)


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Απρ 15, 2012 7:59 pm

Ξεχασμένη ...

Κακό, πολύ κακό!!!!

Ελπίζω το κατσικάκι και το κοκορέτσι να μην με πείραξε στον εγκέφαλο!!!

Έχουμε ότι:

\displaystyle{g(x)=\frac{x^2-2x-2x\eta \mu \frac{\pi x}{4}+4\eta \mu \frac{\pi x}{4}}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=}

\displaystyle{=\frac{x(x-2)-2\eta \mu \frac{\pi x}{4}(x-2)}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=\frac{(x-2)(x-2\eta \mu \frac{\pi x}{4})}{\beta^x+\gamma^x-a^x}}.

Τότε για x κοντά στο 2:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}g(x)= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-2\eta \mu \frac{\pi x}{4})}{\beta^x+\gamma^x-a^x}}

όπου θέτοντας x=2u και για u κοντά στο 1 έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}g(x)= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{(2u-2)(2u-2\eta \mu \frac{\pi u}{2})}{\beta^{2u}+\gamma^{2u}-a^{2u}}=}

\displaystyle{= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{4u(u-1)(1-\frac{\eta \mu \frac{\pi u}{2}}{u})}{\beta^{2u}-\beta^2+\gamma^{2u}-\gamma^2-a^{2u}+a^2}=}

\displaystyle{= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{4u(1-\frac{\eta \mu \frac{\pi u}{2}}{u})}{\frac{\beta^{2u}-\beta^2}{u-1}+\frac{\gamma^{2u}-\gamma^2}{u-1}-\frac{a^{2u}-a^2}{u-1}}=}

\displaystyle{=\frac{4(1-\frac{\pi}{2})}{2 \beta^2 ln\beta + 2 \gamma^2 ln\gamma -2a^2 lna}=}

\displaystyle{=\frac{2(2-\pi)}{2 (\beta^2 ln\beta + \gamma^2 ln\gamma -\beta^2 lna-\gamma^2lna)}=}

\displaystyle{=\frac{2-\pi}{\beta^2 ln\frac{\beta}{a} + \gamma^2 ln\frac{\gamma}{a}}},

αφού

* \displaystyle{ \lim_{u \rightarrow 1}\frac{\eta \mu \frac{\pi u}{2}}{u}}=\frac_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\eta \mu t}{\frac{2t}{\pi}}=\frac{\pi}{2}}

και

* \displaystyle{\lim_{u \rightarrow 1}{\frac{\beta^{2u}-\beta^2}{u-1}=2\beta^2\lnb},

χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης h(u)=b^{2u} για u=1.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης