Σελίδα 1 από 1

ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 02, 2011 10:15 am
από KAKABASBASILEIOS
...Καλημέρα :logo: μία χθεσινή εμπνευση...

Έστω \beta ,\gammaοι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα \alpha και \hat{B}>\frac{\pi }{4} τότε:

α) Αν f(x)=\frac{{{\beta }^{\chi }}-{{\alpha }^{\chi }}-{{\gamma }^{\chi }}}{{{\beta }^{\chi }}+{{\gamma }^{\chi }}-{{\alpha }^{\chi }}} να βρεθούν αν υπάρχουν τα όρια, \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x), \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) και \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)

β) Αν g(x)=\frac{{{x}^{2}}-2x(\eta \mu \frac{\pi x}{4}+1)+4\eta \mu \frac{\pi x}{4}}{{{\beta }^{\chi }}+{{\gamma }^{\chi }}-{{\alpha }^{\chi }}} να βρεθεί αν υπάρχει το \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g(x)(…χωρίς χρήση του del’Hospital)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 02, 2011 11:07 am
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Αφού a είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AB \Gamma και \displaystyle{\hat{B}>\frac{\pi }{4}}, έχουμε ότι: a > \beta > \gamma.

α) Για x>2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{a^x \left( \left(\frac{\beta}{a} \right )^x-1-\left(\frac{\gamma}{a} \right )^x \right )}{a^x \left( \left(\frac{\beta}{a} \right )^x+\left(\frac{\gamma}{a}\right )^x -1 \right )}=1}.

Για x<2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{\gamma^x \left( \left(\frac{\beta}{\gamma} \right )^x-\left(\frac{a}{\gamma} \right )^x -1\right )}{\gamma^x \left( \left(\frac{\beta}{\gamma} \right )^x+1-\left(\frac{a}{\gamma}\right )^x \right )}=-1}.

Για x>2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^+}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=+\infty,
αφού ο αριθμητής είναι αρνητικός, ο παρονομαστής αρνητικός και το όριο του παρονομαστή 0.

Για x<2, έχουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 2^-}\frac{\beta^x-a^x-\gamma^x}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=-\infty,
αφού ο αριθμητής είναι αρνητικός, ο παρονομαστής θετικός και το όριο του παρονομαστή 0.

Επομένως δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 2.

Re: ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2012 2:46 pm
από parmenides51
επαναφορά για το β)

Re: ΟΡΙΑ ΜΕ ΛΙΓΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2012 7:59 pm
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Ξεχασμένη ...

Κακό, πολύ κακό!!!!

Ελπίζω το κατσικάκι και το κοκορέτσι να μην με πείραξε στον εγκέφαλο!!!

Έχουμε ότι:

\displaystyle{g(x)=\frac{x^2-2x-2x\eta \mu \frac{\pi x}{4}+4\eta \mu \frac{\pi x}{4}}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=}

\displaystyle{=\frac{x(x-2)-2\eta \mu \frac{\pi x}{4}(x-2)}{\beta^x+\gamma^x-a^x}=\frac{(x-2)(x-2\eta \mu \frac{\pi x}{4})}{\beta^x+\gamma^x-a^x}}.

Τότε για x κοντά στο 2:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}g(x)= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-2\eta \mu \frac{\pi x}{4})}{\beta^x+\gamma^x-a^x}}

όπου θέτοντας x=2u και για u κοντά στο 1 έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}g(x)= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{(2u-2)(2u-2\eta \mu \frac{\pi u}{2})}{\beta^{2u}+\gamma^{2u}-a^{2u}}=}

\displaystyle{= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{4u(u-1)(1-\frac{\eta \mu \frac{\pi u}{2}}{u})}{\beta^{2u}-\beta^2+\gamma^{2u}-\gamma^2-a^{2u}+a^2}=}

\displaystyle{= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{4u(1-\frac{\eta \mu \frac{\pi u}{2}}{u})}{\frac{\beta^{2u}-\beta^2}{u-1}+\frac{\gamma^{2u}-\gamma^2}{u-1}-\frac{a^{2u}-a^2}{u-1}}=}

\displaystyle{=\frac{4(1-\frac{\pi}{2})}{2 \beta^2 ln\beta + 2 \gamma^2 ln\gamma -2a^2 lna}=}

\displaystyle{=\frac{2(2-\pi)}{2 (\beta^2 ln\beta + \gamma^2 ln\gamma -\beta^2 lna-\gamma^2lna)}=}

\displaystyle{=\frac{2-\pi}{\beta^2 ln\frac{\beta}{a} + \gamma^2 ln\frac{\gamma}{a}}},

αφού

* \displaystyle{ \lim_{u \rightarrow 1}\frac{\eta \mu \frac{\pi u}{2}}{u}}=\frac_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\eta \mu t}{\frac{2t}{\pi}}=\frac{\pi}{2}}

και

* \displaystyle{\lim_{u \rightarrow 1}{\frac{\beta^{2u}-\beta^2}{u-1}=2\beta^2\lnb},

χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης h(u)=b^{2u} για u=1.