Θεωρήματα Συνεχών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Θεωρήματα Συνεχών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Τετ Νοέμ 02, 2011 12:40 pm

Μία ενδιαφέρουσα νομίζω, άσκηση στα θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων.

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:\left[0,\alpha  \right]\rightarrow R} με \displaystyle{f(0)=0,f(\alpha )=\alpha }.
Αν ισχύει: \displaystyle{f^{3}(x)-f(x)=x^{2}-x,x\epsilon \left[0,\alpha  \right] }, να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{\alpha =1 }
β) η συνάρτηση \displaystyle{f} δεν είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[0,\alpha  \right]}

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θεωρήματα Συνεχών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Νοέμ 02, 2011 12:59 pm

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Μία ενδιαφέρουσα νομίζω, άσκηση στα θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων.

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:\left[0,\alpha  \right]\rightarrow R} με \displaystyle{f(0)=0,f(\alpha )=\alpha }.
Αν ισχύει: \displaystyle{f^{3}(x)-f(x)=x^{2}-x,x\epsilon \left[0,\alpha  \right] }, να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{\alpha =1 }
β) η συνάρτηση \displaystyle{f} δεν είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[0,\alpha  \right]}

Φιλικά Χρήστος
a) Η δοθείσα για \displaystyle{x=a} και επειδή \displaystyle{f(a)=a,} γίνεται \displaystyle{a^3-a=a^2-a \Leftrightarrow a^2(a-1)=0,} οπότε επειδή (υπονοείται ότι) \displaystyle{a\ne 0,} προκύπτει \displaystyle{a=1.}


b) Αν υποθέσουμε ότι η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{[0,1]} και επειδή είναι \displaystyle{f(0)\ne f(1),} από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει \displaystyle{q\in (0,1)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(q)=\frac{1}{2}.}

Τότε, η αρχική σχέση για \displaystyle{x=q} θα γίνει

\displaystyle{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=q^2-q,} άρα \displaystyle{q^2-q+\frac{3}{8}=0.}

Όμως, η διακρίνουσα αυτής της ως προς \displaystyle{q} δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι \displaystyle{\Delta =-\frac{1}{2}<0,} άτοπο.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες