Συναρτήσεις 5

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Παρ Νοέμ 04, 2011 12:16 pm

Δίνεται η σχέση :

cos(ax)+cos(bx)-cos(2011x)\leq 1, για κάθε x\in R, με a,b\in R.

Να βρεθεί η μικρότερη τιμή του αθροίσματος a^{2}+b^{2}.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτήσεις 5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Νοέμ 04, 2011 1:54 pm

Κλασσική περίπτωση
Γιάννης Μπαϊλάκης
Μάλιστα την είχε ξαναθέσει αν δε με απατά η μνήμη μου,ο Κωστής (Kostas12345) και είχα πατήσει τη μπανανόφλουδα.
Δυστυχώς όμως δε μπορέσα να την εντοπίσω.
Λοιπόν η δοθείσα γίνεται:
\displaystyle{ 
 - \cos (ax) - \cos (bx) + \cos (2011x) \ge  - 1 \Leftrightarrow 1 - \cos (ax) + 1 - \cos (bx) \ge 1 - \cos (2011x) \Leftrightarrow \sin ^2 (\frac{{ax}}{2}) + \sin ^2 (\frac{{bx}}{2}) \ge \sin ^2 (\frac{{2011x}}{2}),\forall x \in R 
}
Τώρα
σε μία περιοχή του μηδενός,πολύ κοντά σε αυτό,για \displaystyle{ 
x \ne 0 
} έχω(διαιρώντας με το \displaystyle{ 
x^2  
} ):

\displaystyle{ 
\left( {\frac{a}{2}} \right)^2 \left( {\frac{{\sin (\frac{{ax}}{2})}}{{\frac{{ax}}{2}}}} \right)^2  + \left( {\frac{b}{2}} \right)^2 \left( {\frac{{\sin (\frac{{bx}}{2})}}{{\frac{{bx}}{2}}}} \right)^2  \ge \left( {\frac{{2011}}{2}} \right)^2 \left( {\frac{{\sin (\frac{{2011x}}{2})}}{{\frac{{2011x}}{2}}}} \right)^2  
}
απ'όπου λαμβάνοντας όριο στο μηδέν,προκύπτει:

\displaystyle{ 
\left( {\frac{a}{2}} \right)^2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin (\frac{{ax}}{2})}}{{\frac{{ax}}{2}}}} \right)^2  + \left( {\frac{b}{2}} \right)^2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin (\frac{{bx}}{2})}}{{\frac{{bx}}{2}}}} \right)^2  \ge \left( {\frac{{2011}}{2}} \right)^2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin (\frac{{2011x}}{2})}}{{\frac{{2011x}}{2}}}} \right)^2  
}

τελικά:
\displaystyle{ 
a^2  + b^2  \ge \left( {2011} \right)^2  
}


Επομένως η ζητούμενη ελάχιστη τιμή είναι η \displaystyle{ 
(2011)^2  
} και λαμβάνεται όταν π.χ \displaystyle{ 
a = \frac{{2011}}{{\sqrt 2 }},b = \frac{{2011}}{{\sqrt 2 }} 
}


Διόρθωση Μπήκα και διόρθωσα τα ορίσματα στα δύο ημίτονα της ανισότητας,γιατί ένα λάθος με οδηγούσε σε λανθασμένο αποτέλεσμα.Τι να κάνουμε πολύ μπελάς στο γράψιμο η συγκεκριμένη...Ούφ,έλεος!!
Λευτέρη συμφωνώ!Αν και έχει χαθεί λιγάκι η μπάλα με το τι μπορούν να βάλουν από τριγωνομετρία ή τι δεν μπορούν.Για τη συγκεκριμένη,ούτε λόγος!!

ΣΗΜΕΙΩΣΗ Θαρρώ πως για να μπορέσει να υπάρχει λύση να έχει εξασφαλιστεί από την εκφώνηση πως \displaystyle{ 
a \ne 0,b \ne 0 
}.Πολλά λάθη στη συγγραφή και με έφτασαν σε σημείο εκνευρισμού!!
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Παρ Νοέμ 04, 2011 2:47 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Παρ Νοέμ 04, 2011 2:20 pm

Πολύ απαγορευμένο θέμα :lol: :lol: :lol:


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 5

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Νοέμ 04, 2011 6:40 pm



Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Συναρτήσεις 5

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Σάβ Νοέμ 05, 2011 6:43 pm

Πολύ ωραία άσκηση αλλά να τολμήσω να ρωτήσω αν αντίστοιχα με την παρόμοια που υπέδειξε ο parmenides , αν το 2011^{2} είναι το ανώτερο κάτω φράγμα και όχι αναγκαστικά το ελάχιστο του a^{2}+b^{2};( όπως παρατήρησε ο κύριος Μπόρης στο αντίστοιχο;)


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτήσεις 5

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Νοέμ 05, 2011 7:36 pm

pito έγραψε:Πολύ ωραία άσκηση αλλά να τολμήσω να ρωτήσω αν αντίστοιχα με την παρόμοια που υπέδειξε ο parmenides , αν το 2011^{2} είναι το ανώτερο κάτω φράγμα και όχι αναγκαστικά το ελάχιστο του a^{2}+b^{2};( όπως παρατήρησε ο κύριος Μπόρης στο αντίστοιχο;)
Νομίζω πως υποδεικνύω τιμές των a,b για τις οποίες επιτυγχάνεται το ελάχιστο.
Και δεν είναι οι μόνες...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Συναρτήσεις 5

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Σάβ Νοέμ 05, 2011 8:01 pm

Ναι σωστά την έλυσα την άσκηση χωρίς να προσέξω την τις τιμές των α,β που υποδείξατε. Σας ευχαριστώ πολύ και συγνώμη.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτήσεις 5

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 05, 2011 8:02 pm

Γιώργος Κ77 έγραψε:Δίνεται η σχέση :

cos(ax)+cos(bx)-cos(2011x)\leq 1, για κάθε x\in R, με a,b\in R.

Να βρεθεί η μικρότερη τιμή του αθροίσματος a^{2}+b^{2}.
Λίγο αλλιώς: Η δοθείσα γράφεται

\frac {cos(ax)-1}   {x^2}+ \frac {cos(bx)-1}   {x^2} \le \frac {cos(a2011x)-1}   {x^2}.

Παίρνουμε τώρα όριο x \to 0 (π.χ. με δύο l' Hospital). Θα βρούμε -a^2 -b^2 \le -2011^2 , άρα a^2+ b^2 \ge 2011^2 με ισότητα (που διατηρεί και την δοθείσα τριγωνομετρική ανισότητα) αν a = 2011, \, b=0.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτήσεις 5

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Νοέμ 05, 2011 8:33 pm

pito έγραψε: Σας ευχαριστώ πολύ και συγνώμη.
Δεν υπάρχει λόγος να μου ζητάς συγνώμη.Κουβέντα κάνουμε.
Είχα αρχικά δώσει τιμές a=0,b=2011 μα μετά σκέφτηκα πως αφού διαιρώ με a δε μπορεί αυτό να είναι μηδέν.
Αυτό με οδήγησε στην παραπάνω λανθασμένη επιλογή για τα a,b.
Λανθασμένη σίγουρα αφού δεν επαληθεύουν την αρχική μας σχέση.
(Μου το υπέδειξε ο Μιχάλης Λάμπρου,τον οποίο κι ευχαριστώ)
Όμως και πάλι,αναρωτιέμαι και παρακάλω το Μιχάλη ή όποιον άλλο θέλει μπορούν τα a,b να πάρουν την τιμή μηδέν;;
Ευχαριστώ και τώρα με τη σειρά μου ζητώ εγώ συγνώμη για τον αποπροσανατολισμό.
Βλέπω να...δικαιώνεται ο Ροδόλφος τελικά!

Υ.Γ:Μόλις κατάλαβα πως παραπάνω ο Μιχάλης ήδη το είχε λήξει το θέμα με τη χρήση του Del'Hospital!
Δε χρειάστηκε να διαιρέσει...Τώρα κατάλαβα!Ευχαριστώ Μιχάλη...Άργησα λίγο αλλά το κατάλαβα!


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτήσεις 5

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 05, 2011 9:19 pm

chris_gatos έγραψε: <...>
Όμως και πάλι,αναρωτιέμαι και παρακάλω το Μιχάλη ή όποιον άλλο θέλει μπορούν τα a,b να πάρουν την τιμή μηδέν;;
Ναι, με απειροελάχιση προσθήκη στην απόδειξη βολεύεται και αυτή η περίπτωση:

Είτε παίρνεις το όριο \frac {\sin(\frac{ax}{2}) }{x} με l'Hospital ή

α) Κάνεις όπως ακριβώς γράφεις την απόδειξη αν a, b \ne 0. Έτσι δείχνεις a^2+b^2 \ge 2011^2 σε αυτή την περίπτωση.

β) Μετά λες: Αν b=0 (όμοια αν a=0), η αρχική γράφεται \cos (ax)  \le \cos (2011x). Υπάρχουν a που την ικανοποιούν, π.χ. το a=2011, αλλά όλα είναι της μορφής 2011k, \, k \in \mathbb Z (βάλε x= \pi/ 2001). Οπότε πάλι a^2+b^2 \ge 2011^2. Τελειώσαμε

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτήσεις 5

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Νοέμ 05, 2011 9:26 pm

Ok,ευχαριστώ θερμά Μιχάλη!


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης