Συναρτησιακή και εύρεση τύπου

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή και εύρεση τύπου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Νοέμ 06, 2011 5:56 pm

Έστω οι σναρτήσεις \displaystyle{g,f:R \to R} με \displaystyle{g} γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{R} ώστε να ισχύει \displaystyle{{f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) =  - g\left( x \right)} για κάθε πραγματικό αριθμό \displaystyle{x}

\displaystyle{i}. Να αποδείξετε ότι ότι η \displaystyle{f} δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα
\displaystyle{ii}. Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} δεν είναι συμμετρική ως προς τον άξονα \displaystyle{y'y}
\displaystyle{iii}. Εάν \displaystyle{g\left( x \right) = {x^3} + x}, \displaystyle{x \in R}\displaystyle{i}, να βρείτε τον τύπο της \displaystyle{f}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτησιακή και εύρεση τύπου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Νοέμ 06, 2011 8:30 pm

1)Έστω πως η συνάρτηση f είναι γνησίως αυξουσα.Τότε η συνάρτηση \displaystyle{ 
f^3 (x) + f(x) 
} είναι γνησίως αύξουσα,ως σύνθεση δύο γνησίως αυξουσών συναρτήσεων,της \displaystyle{ 
x^3  + x 
} και της f.
Όμως η συνάρτηση -g(x) είναι γνησίως φθίνουσα,οπότε από τη δοθείσα σχέση προκύπτει αντίφαση.
Επομένως η f δεν είναι γνησίως αύξουσα.

2)Ας είναι η f άρτια.Τότε \displaystyle{ 
f( - x) = f(x),\forall x \in R 
}
Tότε αν θέσω όπου x το -x λαμβάνω:
\displaystyle{ 
f^3 ( - x) + f( - x) =  - g( - x) \Rightarrow ...g( - x) =  g(x),\forall x \in R 
}
Επομένως η g άρτια.
Άρτια όμως και γνησίως αύξουσα ...δεν προβλέπεται!
Είναι:
g(1)=g(-1) και \displaystyle{ 
 - 1 < 1 \Rightarrow g( - 1) < g(1) 
}.
Αντίφαση.
Επομένως ηf δεν είναι άρτια.

3)Τώρα τα πράγματα είναι απλά.
Έχω πως:
\displaystyle{ 
f^3 (x) + f(x) + x^3  + x = 0,\forall x \in R \Rightarrow ...(f(x) + x)(f^2 (x) - xf(x) + x^2  + 1) = 0,\forall x \in R 
} (1)
Όμως

\displaystyle{ 
f^2 (x) - xf(x) + x^2  + 1 > 0,\forall x \in R 
}
αφού

\displaystyle{ 
f^2 (x) - xf(x) + x^2  + 1 = f^2 (x) - 2\frac{x}{2}f(x) + \frac{{x^2 }}{4} + \frac{{3x^2 }}{4} + 1 = \left( {f(x) - \frac{x}{2}} \right)^2  + \frac{{3x^2 }}{4} + 1 > 0,\forall x \in R 
}

Αντιλαμβανόμαστε πως για να ισχύει η (1) πρέπει και αρκεί:

\displaystyle{ 
f(x) + x = 0,\forall x \in R \Rightarrow f(x) =  - x,\forall x \in R 
}
Μία επαλήθευση μας πείθει πως όντως πρόκειται για τη ζητούμενη συνάρτηση.

Y.Γ:Είχα ξεχάσει να επισημάνω τη σχέση (1) και το έπραξα τώρα.
Υ.Γ2Ευχαριστώ τον Βασίλη για την επισήμανση του λάθους μου σε ένα πρόσημο.Λόγω αυτού του λάθους η g βγήκε περιττή,ενώ φυσικά είναι άρτια.Τώρα η λύση για το 2) είναι οκ.Θα γράψω 100 φορές τιμωρία το ''Όταν έχω σκοτούρες δε θα πιάνω να λύσω άσκηση'' και θα έρθω την επομένη με τον κηδεμόνα μου.Συγνώμη για τον αποπροσανατολισμό.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Νοέμ 07, 2011 2:20 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή και εύρεση τύπου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Κυρ Νοέμ 06, 2011 8:32 pm

Εναλλακτικά για το γ)\displaystyle{{f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) =  - g\left( x \right) \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( { - x} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - x} αφού \displaystyle{g} 1-1.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και εύρεση τύπου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Νοέμ 06, 2011 8:42 pm

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Ωραία η λύση του Χρήστου για το γ, η δική μου είναι σαν του Γιώργου όπως και η κατασκευή της άσκησης. Καλό βράδυ.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης