ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 07, 2011 10:42 pm

Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:R \to R} με \displaystyle{g} περιττή και τέτοιες ώστε να ισχύουν

\displaystyle{f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in R}

\displaystyle{f\left( {x + y} \right) \le f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall y,x \in R}
Να δείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι περιττή.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Νοέμ 07, 2011 10:51 pm

mathxl έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:R \to R} με \displaystyle{g} περιττή και τέτοιες ώστε να ισχύουν

\displaystyle{f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in R}

\displaystyle{f\left( {x + y} \right) \le f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall y,x \in R}
Να δείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι περιττή.
Η 2η για \displaystyle{x=y=0} δίνει \displaystyle{f(0)\geq 0} (I)

Η 2η για \displaystyle{y=-x} δίνει \displaystyle{f(x)+f(-x)\geq f(0),} οπότε, λόγω της (Ι), \displaystyle{f(-x)\geq -f(x)} για κάθε \displaystyle{x.} (II)

Η πρώτη για \displaystyle{x\to -x} δίνει \displaystyle{f(-x)\leq g(-x),} και επειδή η \displaystyle{g} είναι περιττή, έχουμε \displaystyle{f(-x)\leq -g(x),} άρα

\displaystyle{f(-x)\leq -g(x)\leq -f(x) \Rightarrow f(-x)\leq -f(x)} (III).

Από τις (ΙΙ),(ΙΙΙ) προκύπτει το ζητούμενο.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Νοέμ 07, 2011 10:56 pm

Είναι g(0)=0 αφού g περιττή.
Αρα \displaystyle{ 
f(0) \le 0:(1) 
}
επιπλέον
\displaystyle{ 
f( - x) \le g( - x) =  - g(x) \Rightarrow g(x) \le  - f( - x) \Rightarrow f(x) \le  - f( - x) \Rightarrow f(x) + f( - x) \le 0 = f(0):(2) 
}
Τώρα από τη δοθείσα εύκολα προκύπτει:

\displaystyle{ 
f(0) \le f(x) + f( - x):(3) 
}
Επομένως από τις (2),(3) έχω:

\displaystyle{ 
f( - x) + f(x) = 0 \Rightarrow f( - x) =  - f(x),\forall x \in R 
}
Τελειώσαμε


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Νοέμ 07, 2011 10:57 pm

mathxl έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g:R \to R} με \displaystyle{g} περιττή και τέτοιες ώστε να ισχύουν

\displaystyle{f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in R}

\displaystyle{f\left( {x + y} \right) \le f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall y,x \in R}
Να δείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι περιττή.
f(x+y)\leq f(x)+f(y)\stackrel{x=y=0}\rightarrow f(0)\geq 0

f(0)\leq f(x)+f(-x)\Rightarrow f(0)\leq g(x)+g(-x)\Rightarrow f(0)\leq 0

άρα f(0)=0

f(x+y)\leq f(x)+f(y)\stackrel{y=-x}\rightarrow f(x)+f(-x)\geq 0

f(x)\leq g(x)

f(-x)\leq g(-x)

--------------------------> f(x)+f(-x)\leq  0

άρα f(x)+f(-x)=0


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 07, 2011 10:58 pm

:coolspeak: Να βρείτε την \displaystyle{f} στις κάτωθι περιπτώσεις (τώρα γεννήθηκαν τα ερωτήματα)
ι. Όταν η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών
ιι. Όταν η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:21 pm

1)Αν είναι παραγωγίσιμη,τότε
\displaystyle{ 
f(x + y) - f(x) \le f(y),\forall x,y \in R 
}
Σταθεροποιούμε το x και για y>0 έχω:
\displaystyle{ 
\frac{{f(x + y) - f(x)}}{y} \le \frac{{f(y)}}{y}\mathop  \Rightarrow \limits^{f(0) = 0} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ +  } \frac{{f(x + y) - f(x)}}{y} \le \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ +  } \frac{{f(y) - f(0)}}{y} \Rightarrow f_\delta '(x) \le f'(0):(1) 
}
ενώ για y<0 λαμβάνω
\displaystyle{ 
\frac{{f(x + y) - f(x)}}{y} \ge \frac{{f(y)}}{y}\mathop  \Rightarrow \limits^{f(0) = 0} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ -  } \frac{{f(x + y) - f(x)}}{y} \ge \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ -  } \frac{{f(y) - f(0)}}{y} \Rightarrow f_a  '(x) \ge f'(0):(2) 
}
Από τις (1),(2) και από το γεγονός πως η συναρτηση είναι παραγωγίσιμη,έχω:
\displaystyle{ 
f'(x) = f'(0),\forall y \in R \Rightarrow f(x) = ax + c(a = f'(0)) 
}
Αξιοποιώντας το γεγονός πως f(0)=0 έχουμε τελικά πως \displaystyle{ 
f(x) = ax,x \in R 
}
Η συνάρτηση φανερά επαληθεύει τις αρχικές μου σχέσεις.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Νοέμ 07, 2011 11:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:24 pm

mathxl έγραψε::coolspeak: Να βρείτε την \displaystyle{f} στις κάτωθι περιπτώσεις (τώρα γεννήθηκαν τα ερωτήματα)
ι. Όταν η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών
Αυτό το είδαμε και εδώ.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:36 pm

Έχω διαφορετική λύση αλλά ως γνήσιος τεμπέλης θα περιμένω. Και το (ιι) πρέπει να το έχουμε δει αρκετές φορές!


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:48 pm

Σχετικά με το (ιι)

εδώ για \displaystyle{g(x)=x}


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Νοέμ 08, 2011 12:23 am

2)Αν δε με σκούνταγε ο Βασίλης ακόμη θα παιδευόμουν.
Είναι:

\displaystyle{ 
f(x) = f(x + y - y) \le f(x + y) + f( - y) = f(x + y) - f(y) \Rightarrow f(x + y) \ge f(x) + f(y),\forall x,y \in R 
}
Επομένως:
\displaystyle{ 
f(x + y) = f(x) + f(y),\forall x,y \in R 
}
Άρα:
\displaystyle{ 
f(x) = cx,c \in R 
}
Αφού πρόκειται για συνεχή συνάρτηση που ικανοποιεί τη συναρτησιακή Cauchy.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες