α+β=;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

α+β=;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Ιούλ 13, 2009 3:06 am

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} με τύπο \displaystyle{f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x}.
Αν \displaystyle{f\left( \alpha  \right) = 16} και \displaystyle{f\left( \beta  \right) = 20}, να υπολογίσετε το άθροισμα α+β
Η άσκηση γίνεται πιο εύκολη με υποερωτήματα


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
GiannisL
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:29 am
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: α+β=;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GiannisL » Δευ Ιούλ 13, 2009 1:34 pm

Μήπως α+β=4
(Βρήκα το αποτέλεσμα γραφικά)


Γιάννης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: α+β=;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 13, 2009 3:29 pm

mathxl έγραψε:Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} με τύπο \displaystyle{f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x}.
Αν \displaystyle{f\left( \alpha  \right) = 16} και \displaystyle{f\left( \beta  \right) = 20}, να υπολογίσετε το άθροισμα α+β
Η άσκηση γίνεται πιο εύκολη με υποερωτήματα
Πρέπει να προσθέσουμε ότι α+β πραγματικός, αλλιώς υπάρχουν και άλλες τιμές.

Είναι ευκολότερο να γράψουμε Α =α-2, Β =β-2, οπότε οι δοθείσες γίνονται

A^3 + 5A = -2, B^3 + 5B = 2.

Προσθέτοντας κατά μέλη είναι (A+B)(A^2 + AB + B^2 + 5) = 0.

Επειδή δεν γίνεται A^2 + AB + B^2 + 5 = 0 (ισχύει π.χ. A^2 + AB + B^2 \ge 0) έχουμε Α +Β =0, οπότε α +β =4.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Διόρθωσα ένα τυπογραφικό σφάλμα που μου το επισήμανε ο hsiodos.
Γιώργο: ευχαριστώ πολύ.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: α+β=;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Ιούλ 13, 2009 4:53 pm

Και η μαγίκή λύση που δόθηκε από τον Βιργίλιο (τον Νικόλα)

Παρατηρουμε τους δύο πρώτους όρους του τύπου της συνάρτησης οι οποίοι παραπέμπουν σε ταυτότητα (χ-2)^3
Αξιοποιούμε την παρατήρηση με εύρεση μονοτονίας, ως εξής
\displaystyle{f\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^3} + 5x + 8} έπειτα κατασκευαστικά η f βγαίνει γνησίως αύξουσα, άρα 1-1

Ή καλή παρατήρηση \displaystyle{f\left( {4 - x} \right) = ... =  - {x^3} + 6{x^2} - 17x + 36 =  - f\left( x \right) + 36}
Για χ=α: \displaystyle{f\left( {4 - a} \right) =  - f\left( a \right) + 36 \Leftrightarrow f\left( {4 - a} \right) = 20 = f\left( b \right) \Leftrightarrow 4 - a = b \Leftrightarrow a + b = 4}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: α+β=;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Ιούλ 13, 2009 4:54 pm

Ποιο καλό βέβαια είναι η άσκηση να δοθεί ως εξής
1. Νδο ότι είναι γνησίως μονότονη
2. Νδο 1-1
3. Νδο φ(4-χ)=-φ(χ)+36
4. α+β=;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: α+β=;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Τρί Ιούλ 14, 2009 7:26 am

Δινω και μια αντιμετωπιση επιπλεον :

Εχουμε λοιπον το συστημα των εξισωσεων :

\displaystyle{\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{a^3} - 6{a^2} + 17a - 16 = 0}  \\ 
   {{b^3} - 6{b^2} + 17b - 20 = 0}  \\ 
\end{array}} \right.}

Θετω \displaystyle{\displaystyle a = t + 2} και \displaystyle{\displaystyle b = u + 2} στο παραπανω συστημα και αυτο γινεται:

\displaystyle{\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{t^3} + 5t =  - 2}  \\ 
   {{u^3} + 5u = 2}  \\ 
\end{array}} \right.}

Απο οπου προκυπτει οτι \displaystyle{\displaystyle u =  - t} ειναι μια λυση.

Προσθετοντας τις δυο εξισωσεις του δευτερου συστηματος εχουμε :

\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} 
 {u^3} + {t^3} + 5\left( {u + t} \right) = 0 \\  
 \left( {u + t} \right) \cdot \left( {{u^2} + {t^2} - ut + 5} \right) = 0 \\  
 \end{array}}

Αρα οι λυσεις ειναι : \displaystyle{\displaystyle u + t = 0} (1) η \displaystyle{\displaystyle {u^3} + {t^3} - ut + 5 = 0} (2)

Η (2) γραφεται σαν : \displaystyle{\displaystyle {\left( {u - \frac{t}{2}} \right)^2} + \frac{{3{t^2}}}{4} + 5 = 0} που ειναι αδυνατη.

Αρα \displaystyle{\displaystyle u + t = 0} απο οπου προκυπτει : \displaystyle{\displaystyle a + b = 4}.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης