Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

wavelet · #1

Μόλις κατασκεύασα μια άσκηση, η οποία προορίζεται για διαγώνισμα στην
αντίστοιχη ύλη. Μάλλον για 3ο Θέμα.

Ασκήση: Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με

$f(x)=\dfrac{e^{xe+1}+e^{xe}}{e^{xe+1}+e}$

i. Να δείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

Υπόδειξη: Εάν y>x

τότε υπάρχει h>0

τ.ω

ii.Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(\dfrac{x}{e})=\dfrac{k}{(k+1)e}$ για κάθε k>0

iii. Να υπολογίσετε το όριο

$\lim_{k \rightarrow +\infty}f^{-1}\biggl(\dfrac{e^{\frac{2k+1}{k+1}}+e^{\frac{k}{k+1}}}{e^{\frac{2k+1}{k+1}}+e}\biggr)$

chris · #2

Δεν νομίζω να χρειάζεται να μπερδευτούμε με την υπόδειξη...θα πάμε πατροπαράδοτα.

ΛΥΣΗ

Α)

$\displaystyle f(x)=\frac{e^{xe}\cdot e+e^{xe}}{e^{xe}\cdot e+e}=\frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{xe}}},x\in \mathbb{R}$

Επομένως για κάθε $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με
$\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow e^{x_1e}<e^{x_2e}\Rightarrow 1+\frac{1}{e^{x_1e}}>1+\frac{1}{e^{x_2e}}\Rightarrow \frac{1}{1+\frac{1}{e^{x_1e}}}<\frac{1}{1+\frac{1}{e^{x_2e}}}\Rightarrow \frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{x_1e}}}<\frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{x_2e}}}\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
επομένως η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ας βρούμε και ένα σύνολο τιμών να υπάρχει:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{xe}}}=\frac{e+1}{e}$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{e^{xe+1}+e^{xe}}{e^{xe+1}+e}=0$
άρα $\displaystyle f\left(\mathbb{R} \right)=\left(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x),\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) \right)=\left(0,\frac{e+1}{e} \right)$

Ας βρούμε και την $f^{-1}$ να υπάρχει:
Θέτω
$\displaystyle y=f(x),y\in \left(0,\frac{e+1}{e} \right)\Leftrightarrow ey=\frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{xe}}}\Leftrightarrow \frac{ey}{e^{xe}}=e+1-ey\Leftrightarrow e^{xe}=\frac{ey}{e+1-ey}\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}\cdot ln\left(\frac{ey}{e+1-ey} \right)$
άρα $\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{e}\cdot ln\left(\frac{ex}{e+1-ex} \right),x \in \left(0,\frac{e+1}{e} \right)$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Β)
$\displaystyle f^{-1}\left(\frac{x}{e} \right)=\frac{k}{e(k+1)}\Leftrightarrow \frac{x}{e}=f\left(\frac{k}{e(k+1)} \right) \Leftrightarrow x=\frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{\frac{k}{k+1}}}}=e^{\frac{k}{k+1}}\cdot \frac{e+1}{e^{\frac{k}{k+1}}+1}$

!!Παρατηρούμε οτι: $\displaystyle 0<\frac{k}{e(k+1)}<\frac{e+1}{e},\forall k>0$

Γ)
$\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}f^{-1}\left(\frac{ e^{\frac{k}{k+1}+1}+e^{\frac{k}{k+1}}}{e^{\frac{k}{k+1}+1}+e} \right)=\lim_{k\rightarrow +\infty }f^{-1}\left(f\left(\frac{k}{e(k+1)} \right) \right)=\lim_{k\rightarrow +\infty}\left(\frac{k}{ek+e} \right)=\frac{1}{e}$

wavelet · #3

Ευχαριστώ πολύ, θα βγάλω την υπόδειξη και θα προσθέσω στα ερωτήματα την εύρεση συνόλου τιμών και τύπου αντίστροφης και πάει για θέμα 4!

Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

Re: Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

Re: Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

Μέλη σε σύνδεση