Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
wavelet
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 8:29 am
Επικοινωνία:

Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wavelet » Σάβ Νοέμ 12, 2011 5:19 pm

Μόλις κατασκεύασα μια άσκηση, η οποία προορίζεται για διαγώνισμα στην
αντίστοιχη ύλη. Μάλλον για 3ο Θέμα.

Ασκήση: Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} με

f(x)=\dfrac{e^{xe+1}+e^{xe}}{e^{xe+1}+e}

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}

Υπόδειξη: Εάν y>x τότε υπάρχει h>0 τ.ω y=x+h

ii.Να λυθεί η εξίσωση f^{-1}(\dfrac{x}{e})=\dfrac{k}{(k+1)e} για κάθε k>0

iii. Να υπολογίσετε το όριο

\lim_{k \rightarrow +\infty}f^{-1}\biggl(\dfrac{e^{\frac{2k+1}{k+1}}+e^{\frac{k}{k+1}}}{e^{\frac{2k+1}{k+1}}+e}\biggr)


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Σάβ Νοέμ 12, 2011 7:15 pm

Δεν νομίζω να χρειάζεται να μπερδευτούμε με την υπόδειξη...θα πάμε πατροπαράδοτα.

ΛΥΣΗ

Α)

\displaystyle f(x)=\frac{e^{xe}\cdot e+e^{xe}}{e^{xe}\cdot e+e}=\frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{xe}}},x\in \mathbb{R}

Επομένως για κάθε x_1,x_2 \in \mathbb{R} με
\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow e^{x_1e}<e^{x_2e}\Rightarrow 1+\frac{1}{e^{x_1e}}>1+\frac{1}{e^{x_2e}}\Rightarrow \frac{1}{1+\frac{1}{e^{x_1e}}}<\frac{1}{1+\frac{1}{e^{x_2e}}}\Rightarrow \frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{x_1e}}}<\frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{x_2e}}}\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)
επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ας βρούμε και ένα σύνολο τιμών να υπάρχει:
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{e}\cdot \frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{xe}}}=\frac{e+1}{e}
\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{e^{xe+1}+e^{xe}}{e^{xe+1}+e}=0
άρα \displaystyle f\left(\mathbb{R} \right)=\left(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x),\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) \right)=\left(0,\frac{e+1}{e} \right)

Ας βρούμε και την f^{-1} να υπάρχει:
Θέτω
\displaystyle y=f(x),y\in \left(0,\frac{e+1}{e} \right)\Leftrightarrow ey=\frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{xe}}}\Leftrightarrow \frac{ey}{e^{xe}}=e+1-ey\Leftrightarrow e^{xe}=\frac{ey}{e+1-ey}\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}\cdot ln\left(\frac{ey}{e+1-ey} \right)
άρα \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{e}\cdot ln\left(\frac{ex}{e+1-ex} \right),x \in  \left(0,\frac{e+1}{e} \right)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Β)
\displaystyle f^{-1}\left(\frac{x}{e} \right)=\frac{k}{e(k+1)}\Leftrightarrow \frac{x}{e}=f\left(\frac{k}{e(k+1)} \right) \Leftrightarrow x=\frac{e+1}{1+\frac{1}{e^{\frac{k}{k+1}}}}=e^{\frac{k}{k+1}}\cdot \frac{e+1}{e^{\frac{k}{k+1}}+1}

!!Παρατηρούμε οτι:\displaystyle 0<\frac{k}{e(k+1)}<\frac{e+1}{e},\forall k>0

Γ)
\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}f^{-1}\left(\frac{ e^{\frac{k}{k+1}+1}+e^{\frac{k}{k+1}}}{e^{\frac{k}{k+1}+1}+e} \right)=\lim_{k\rightarrow +\infty }f^{-1}\left(f\left(\frac{k}{e(k+1)} \right) \right)=\lim_{k\rightarrow +\infty}\left(\frac{k}{ek+e} \right)=\frac{1}{e}


Στραγάλης Χρήστος
Άβαταρ μέλους
wavelet
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 8:29 am
Επικοινωνία:

Re: Ασκήση Μονοτονία - Αντίστροφη - Όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wavelet » Σάβ Νοέμ 12, 2011 8:23 pm

Ευχαριστώ πολύ, θα βγάλω την υπόδειξη και θα προσθέσω στα ερωτήματα την εύρεση συνόλου τιμών και τύπου αντίστροφης και πάει για θέμα 4!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης