Σύνθεση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Atemlos
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τετ Αύγ 17, 2011 6:11 am
Τοποθεσία: North

Σύνθεση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Atemlos » Δευ Νοέμ 14, 2011 10:12 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ { - 1,1} \right] \to R} με \displaystyle{\left( {f \circ f} \right)\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x + 3}}} , \displaystyle{\forall x \in \left[ { - 1,1} \right].} . Να δείξετε ότι : \displaystyle{f\left( { - 1} \right) + f(1) = 0}.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Συνθεση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Νοέμ 14, 2011 10:35 pm

Καλησπέρα είναι στην δοσμένη σχέση για x=1 : f(f(1))=1 και στη δοσμένη σχέση για x=f(1) : f(f(f(1))=\frac{3f(1)+1}{f(1)+3}\Rightarrow f(1)=\frac{3f(1)+1}{f(1)+3}\Rightarrow f^{2}(1)=1

Όμοια είναι f(f(-1))=-1 και f(f(f(-1))=\frac{3f(-1)+1}{f(-1)+3}\Rightarrow f(-1)=\frac{3f(-1)+1}{f(-1)+3}\Rightarrow f^{2}(-1)=1

Έτσι f^{2}(1)=f^{2}(-1)\Rightarrow (f(1)-f(-1))(f(1)+f(-1))=0\Rightarrow f(1)+f(-1)=0 γιατί αν f(1)=f(-1) τότε και f(f(1))=f(f(-1)) δηλαδή 1=-1, άτοπο.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4230
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συνθεση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Νοέμ 14, 2011 10:47 pm

Για x=1\Rightarrow f(f(1))=1 και για x\rightarrow f(1)\Rightarrow f(f(f(1)))=\frac{3f(1)+1}{f(1)+3}\Rightarrow f(1)=\frac{3f(1)+1}{f(1)+3}\Rightarrow f^{2}(1)=1

Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι f^{2}(-1)=1

Αν υποθέσουμε ότι f(1)=1 και f(-1)=-1 τότε προκύπτει το ζητούμενο.

Αν πάλι υποθέσουμε ότι f(1)=1 και f(-1)=1 τότε από την σχέση f(f(-1))=-1 (η οποία προκύπτει από την δοσμένη θέτοντας όπου x το -1) παίρνουμε f(1)=-1 που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι f(1)=1

Τέλος, αν υποθέσουμε ότι f(1)=-1 ΄τότε από την σχέση f(f(1))=1\Rightarrow f(-1)=1 και άρα

f(1)+f(-1)=0


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4230
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συνθεση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Νοέμ 14, 2011 10:51 pm

Pito, :clap: με πρόλαβες. Με την ευκαιρία να σου πω ότι χάρηκα πολύ που σε γνώρισα στην συνάντησή μας. Διαπιστώνω ότι είσαι μια από τις σπουδαίες γυναίκες μαθηματικούς που υπάρχουν στον χώρο μας.

Να είσαι καλά

Φιλικά,

Ιωάννου Δημήτρης


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Σύνθεση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Νοέμ 14, 2011 10:57 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια να είστε καλά! Κ εγώ χάρηκα για τη γνωριμία μας όπως και με τα υπόλοιπα μέλη. (Σπουδαίοι είστε εσείς που με τις γνώσεις και το μεράκι σας στηρίζετε αυτό υπέροχο ιστότοπο, εγώ απλά ΜΑΘΑΙΝΩ ΠΟΛΛΑ εδώ και προσπαθώ να γίνομαι καλύτερη)


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης