ΜΕΤΑΣΥΝΕΔΡΙΑΚΗ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

ΜΕΤΑΣΥΝΕΔΡΙΑΚΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Δευ Νοέμ 14, 2011 11:48 pm

Δίνεται ο μιγαδικός z\in C^{*} και η συνάρτηση f:R\rightarrow R με f(0)=0 και
για κάθε x\in R ισχύει f(f(x)-\left|z \right|)=x-1+\left|z \right|.Να δείξετε ότι:
i) Η f είναι 1-1.
ii) f(1)=1
iii) Αν η f είναι γνησίως μονότονη τότε δείξτε ότι:
α) είναι γνησίως αύξουσα
β) \left|z \right|<1

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΜΕΤΑΣΥΝΕΔΡΙΑΚΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Νοέμ 15, 2011 12:29 am

...Καλησπέρα σε όλους... βλέπω μας εφτιαξε το συνέδριο....πάντα τέτoια και καλύτερα....
μία προσπάθεια στο μοντέλο... του Χρήστου...(που ανέφερε σε άλλο post...)

Ι) Αν f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) τότε f({{x}_{1}})-\left| z \right|=f({{x}_{2}})-\left| z \right| και f(f({{x}_{1}})-\left| z \right|)=f(f({{x}_{2}})-\left| z \right|) άρα λόγω υπόθεσης {{x}_{1}}-1+\left| z \right|={{x}_{2}}-1+\left| z \right| απ όπου προκύπτει

{{x}_{1}}={{x}_{2}} άρα f είναι 1-1

ιι) Για x=1-\left| z \right| στην αρχική ισότητα έχουμε f(f(1-\left| z \right|)-\left| z \right|)=0=f(0)και λόγω του (ι) προκύπτει ότι f(1-\left| z \right|)-\left| z \right|=0\Leftrightarrow f(1-\left| z \right|)=\left| z \right| (1)

επίσης στην αρχική για x=1 προκύπτει ότι f(f(1)-\left| z \right|)=\left| z \right| (2) έτσι από (1),(2) έχουμε την ισότητα f(f(1)-\left| z \right|)=f(1-\left| z \right|) και λόγω του (ι) ισχύει ότι

f(1)-\left| z \right|=1-\left| z \right|\Leftrightarrow f(1)=1

ιιι) α) Επειδή η f είναι γνήσια μονότονη και f(1)>f(0) η f θα είναι γνήσια αύξουσα


β) Αν \left| z \right|=1 από (1) προκύπτει ότι f(0)=1 άτοπο και αν \left| z \right|>1\Leftrightarrow -\left| z \right|<1\Leftrightarrow 1-\left| z \right|<0 και λόγω (α) και μετά της (1) ισχύει

f(1-\left| z \right|)<f(0)\Leftrightarrow \left| z \right|<0 άτοπο επομένως τελικά \left| z \right|<1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΜΕΤΑΣΥΝΕΔΡΙΑΚΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Νοέμ 15, 2011 8:08 am

:coolspeak:


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης