ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Νοέμ 15, 2011 1:04 am

...επιρεασμένος από τα μοντέλα ας δούμε ένα νέο στα όρια απογευματινής κυκλοφορίας...

Αν για την συνάρτηση f:R\to Rισχύει ότι \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0και f(x)\ne 0 κοντά στο {{x}_{0}} να βρεθεί αν υπάρχει το όριο

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}+2f(x))}^{10}}-{{(\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}-3f(x))}^{10}}}{f(x)}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 15, 2011 1:29 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...επιρεασμένος από τα μοντέλα ας δούμε ένα νέο στα όρια απογευματινής κυκλοφορίας...

Αν για την συνάρτηση f:R\to Rισχύει ότι \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0και f(x)\ne 0 κοντά στο {{x}_{0}} να βρεθεί αν υπάρχει το όριο

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}+2f(x))}^{10}}-{{(\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}-3f(x))}^{10}}}{f(x)}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Το θέμα είναι πώς θα διώξουμε το μηδέν στον παρονομαστή:

Από την a^{10}-b^{10} = (a-b)(a^9 + ... +b^9) το δοθέν έχει έναν "κακό" παράγοντα, τον \frac {\left(\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}+2f(x)\right) - \left (\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}-3f(x)\right)}{f(x)}, και έναν καλό. Στον "κακό" παράγοντα έχουμε απλοποίηση μετά τις πράξεις. Θα βρούμε ότι ισούται με 5. Ο καλός όρος τώρα υπολογίζεται εύκολα. Τελικά το όριο ισούται με 5(1^9 + ... +1^9)=50 αφού \sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}+2f(x) \to 1, \, \sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}-3f(x)\to 1.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Νοέμ 15, 2011 1:54 am

Μια λύση με χρήση del' Hospital :

θέτω \displaystyle{f(x)=y}, όταν \displaystyle{x\to {{x}_{0}}} τότε \displaystyle{y\to 0} διότι \displaystyle\lim_{x\to {{x}_{0}}} f(x)=0}

Άρα
\displaystyle\lim_{x\to{x}_{0}} \frac{{{(\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}+2f(x))}^{10}}-{{(\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}-3f(x))}^{10}}}{f(x)}

\displaystyle=\lim_{y\to 0} \frac{(\sqrt{1+y^2}+2y)^{10}-(\sqrt{1+y^2}-3y)^{10}}{{y}} \mathtop \limits_{=}^{\frac{0}{0}}}

\displaystyle\mathtop \limits_{=}^{\frac{0}{0}}\lim_{y\to 0} \frac{10(\sqrt{1+y^2}+2y)^{9}(\frac{2y}{2\sqrt{1+y^2}}+2)-10(\sqrt{1+y^2}-3y)^{9}(\frac{2y}{2\sqrt{1+y^2}}-3)}{{1}}}

\displaystyle= \frac{10(\sqrt{1+0}+0)^9(0+2)-10(\sqrt{1+0}+0)^{9}(0-3)}{{1}}=20+30=50}


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Νοέμ 15, 2011 2:20 am

...ευχαριστώ Μιχάλη γιά την τοποθέτηση σου πάνω στο θέμα...parmenides51 αν ήταν παραγωγίσιμη η f τότε μπορούμε με τυροπιταλ... τώρα μάλλον όχι..
και παραθέτω και την σκέψη της δημιουργίας μου...

Αν a(x)=\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}+2f(x),\,\,\beta (x)=\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)}-3f(x) τότε a(x)-\beta (x)=5f(x)

και το ζητούμενο όριο παίρνει την μορφή

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,5\frac{{{(a(x))}^{10}}-{{(\beta (x))}^{10}}}{a(x)-\beta (x)} με \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,a(x)=1,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\beta (x)=1

και τελικά έχουμε το όριο 5\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,({{a}^{9}}(x)+{{a}^{8}}(x)\beta (x)+...+{{\beta }^{9}}(x))=5\,\cdot 10=50

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τρί Νοέμ 15, 2011 3:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση Κώδικα LaTeX


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Νοέμ 15, 2011 2:24 am

Μα Βασίλη δεν μας απασχολεί η παραγωγισιμότητα της \displaystyle{f} από την στιγμή που έχουμε αλλάξει μεταβλητή πια,
και η νέα μεταβλητή \displaystyle{y} είναι παραγωγίσιμη ως προς \displaystyle{y} .


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Νοέμ 15, 2011 4:05 am

Το πρόβλημα είναι στην αλλαγή μεταβλητής. Διότι ναι μεν x\to x_{0}\Rightarrow y=f(x)\to0, αλλά η y=f(x)\to0\Rightarrow x\to x_{0} εν γένει δεν ισχύει.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Νοέμ 15, 2011 1:45 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Το πρόβλημα είναι στην αλλαγή μεταβλητής. Διότι ναι μεν x\to x_{0}\Rightarrow y=f(x)\to0, αλλά η y=f(x)\to0\Rightarrow x\to x_{0} εν γένει δεν ισχύει.
Θα ήταν εύκολο να αναλύσεις λίγο το σημείο αυτό;

Το σχολικό (σελ.173) γράφει αυτολεξεί
Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το \displaystyle\lim_{x\to {{x}_{0}}} f(g(x))}, της σύνθετης συνάρτησης \displaystyle{fog} στο σημείο \displaystyle{x_o} , τότε εργαζόμαστε ως εξής:
1. Θέτουμε \displaystyle{u=g(x)}.
2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το \displaystyle {u_o=\lim_{x\to {{x}_{0}}} g(x)}} και
3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το \displaystyle{l=\lim_{u\to {{u}_{0}}} f(u)} .
Αποδεικνύεται ότι, αν \displaystyle{g(x)\neq u_o} κοντά στο \displaystyle{x_o} , τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με \displaystyle{l} , δηλαδή ισχύει:
\displaystyle\lim_{x\to {{x}_{0}}} f(g(x))=\lim_{u\to {{u}_{0}}} f(u)}.
Αυτό δεν έκανα στην παραπάνω αλλαγή μεταβλητής; :?


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: ΟΡΙΟ ΛΙΓΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Νοέμ 15, 2011 7:11 pm

Έχεις δίκιο. Στη συγκεκριμένη περίπτωση καλύπτεσαι από το ότι f(x)\neq0 κοντά στο 0.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης