Εύρεση τύπου

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εύρεση τύπου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Ιούλ 13, 2009 8:08 pm

Για κάθε πραγματικό αριθμό χ διαφορετικό του 0 και του 1, ισχύει \displaystyle{ \displaystyle\ f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) =\frac{2(1-2x)}{x(1-x)} }. Να βρείτε τον τύπο της f


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Ιούλ 13, 2009 10:07 pm

Θέτουμε στην αρχική όπου x το \displaystyle\frac{1}{1-x} (είναι επιτρεπτή αντικατάσταση σύμφωνη με τους περιορισμούς) και παίρνουμε:

f\left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\displaystyle\frac{x}{x-1}\right)=2\displaystyle\frac{1-x^2}{x} \ \ (1)

Θέτουμε και πάλι όπου x το \displaystyle\frac{1}{1-x} στη σχέση (1) (είναι και πάλι επιτρεπτή η αντικατάσταση) και παίρνουμε:

f\left(\displaystyle\frac{x}{x-1}\right)+f(x)=2\displaystyle\frac{x(x-2)}{1-x} \ \ (2)

Αν από τη σχέση (2) αφαιρέσουμε τη σχέση (1) παίρνουμε

f(x)-f\left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)=-2\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x(1-x)}

και προσθέτοντάς την με την αρχική παίρνουμε f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-1} η οποία επαληθεύει την αρχική σχέση άρα είναι και η ζητούμενη συνάρτηση.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Ιούλ 14, 2009 12:28 am

yup :D


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης