Σελίδα 1 από 1

Πονηρή άσκηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 13, 2009 9:20 pm
από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Έστω α , β , γ θετικοί αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο . Αν υπάρχουν κ , λ , μ πραγματικοί τέτοιοι ώστε
\displaystyle{\displaystyle  
\kappa  \cdot \alpha ^x  + \lambda  \cdot \beta ^x  + \mu  \cdot \gamma ^x  = 0 
} για κάθε πραγματικό x , να βρείτε τους κ , λ , μ .

Υ.Γ Ίσως η τοποθέτησή της στο συγκεκριμένο φάκελλο να βοηθά στη λύση της .
Πιστεύω ότι αν μπει στο φάκελλο ασκήσεις σε όλη την ύλη θα είναι αρκετά πιο δύσκολη ...

Re: Πονηρή άσκηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 13, 2009 9:45 pm
από nsmavrogiannis
Aν ονομάσουμε f\left( x\right) =\kappa \alpha ^{x}+\lambda \beta ^{x}+\mu \gamma ^{x} και λύσουμε το σύστημα f\left( 0\right) =0,\,\ f\left( 1\right) =0,\,\ f\left( 2\right) =0 θα βρούμε \kappa =\lambda =\mu =0.
Η συγκεκριμένη άσκηση ταιριάζει και στην Β΄ Τάξη
Σχόλιο εξωσχολικό: Βέβαια η απάντηση είναι αναμενόμενη διότι το παραπάνω σύστημα προς \kappa ,\lambda ,\mu είναι ομογενές και η ορίζουσα του είναι η ορίζουσα του Vandermonde.
Μαυρογιάννης

Re: Πονηρή άσκηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 13, 2009 11:10 pm
από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Καλησπέρα . Η λύση που έχω είναι με όρια στο άπειρο .
Υποθέτω γ > β > α και διαιρώ με γ^x και στη συνέχεια παίρνω όρια στο + άπειρο .
Προκύπτει μ = 0 . Την καινούρια τη διαιρώ με β^x και με όρια στο + άπειρο προκύπτει λ = 0
οπότε αντικαθιστώντας στη δοθείσα παίρνουμε κ = 0 .