Συνέχεια συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4227
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Συνέχεια συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Νοέμ 23, 2011 7:46 pm

Έστω συνάρτηση f:R\rightarrow R  , 2f^{3}(x)-3f(x)=2x+3 για κάθε x\epsilon R.
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4227
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Νοέμ 23, 2011 11:32 pm

Σήμερα μου έδωσε ένας συνάδελφος την άσκηση αυτή και κάτι μου πάει στραβά. (Αν αντί -3f(x) ήταν στην εκφώνηση +3f(x) τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής). Τώρα όμως; ....


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Νοέμ 24, 2011 3:55 am

μου θύμισε αυτήν


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4227
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Νοέμ 24, 2011 7:26 am

Μελετώντας την άσκηση, έτσι όπως είναι δοσμένη, δεν μπορώ να καταλήξω σε κάποιο συμπέρασμα.
Παρατήρησα ότι αν η εκφώνηση 'ηταν λίγο διαφορετική, π.χ αν ήταν:
2f^{3}(x)+3f(x)=2x+3 (ΣΧΕΣΗ 1)

τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής με έναν ενδιαφέροντα τρόπο:

Έστω x_{0}\epsilon R Τότε 2f^{3}(x_{0})+3f(x_{0})=2x_{0}+3 (ΣΧΕΣΗ 2)

Με αφαίρεση κατά μέλη των σχέσεων 1 και 2 έχουμε:

\left(f(x)-f(x_{0}) \right)\left[2f^{2}(x)+2f(x)f(x_{0})+2f^{2}(x_{0})+3 \right]=2(x-x_{0})\Rightarrow

\left[f(x)-f(x_{0} \right]\left[f^{2}(x)+f^{2}(x)+2f(x)f(x_{0}+f^{2}(x_{0})+f^{2}(x_{0})+3 \right]=2(x-x_{0})

\Rightarrow \left[f(x)-f(x_{0}) \right]\left[f^{2}(x)+\left(f(x)+f(x_{0}) \right)^{2})+f^{2}(x_{0})+3 \right]=2(x-x_{0})


Όμως

\left|f^{2}(x)+\left(f(x)+f(x_{0}) \right)^{2}+f^{2}(x_{0}+3 \right|\geq 1\Rightarrow
\left|f(x)-f(x_{0}) \right|\left|f^{2}(x)+\left(f(x)+f(x_{0} \right)^{2}+f^{2}(x_{0})+3 \right|\geq \left|f(x)-f(x_{0}) \right| \Rightarrow 2\left|x-x_{0} \right|\geq \left|f(x)-f(x_{0}) \right|


Άρα

-2\left|x-x_{0} \right|\leq f(x)-f(x_{0})\leq 2\left|x-x_{0} \right|

Με το κριτήριο παρεμβολής, έχουμε ότι \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(f(x)-f(x_{0} \right)=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})

Άρα η f είναι συνεχής στο R


Έτσι όμως που έχει δοθεί η εκφώνηση, δεν μπορώ να δω κάποια λύση :roll:

(Εκτός και αν μου δώθηκε λάθος εκφώνηση)


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Νοέμ 24, 2011 7:54 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Έστω συνάρτηση f:R\rightarrow R  , 2f^{3}(x)-3f(x)=2x+3 για κάθε x\epsilon R.
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R
Δημήτρη, καλημέρα

Η συνάρτηση αυτή που σου δώσανε δεν μπορεί να είναι συνεχής για τον εξής λόγο:

(περιγράφω τα βήματα σύντομα)

Με απαγωγή σε άτοπο.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι 1-1, άρα και από τη συνέχεια είναι γνησίως μονότονη.

Επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι τα όρια της στο άπειρο (που υπάρχουν σίγουρα, λόγω της μονοτονίας)δεν μπορεί να είναι

πεπερασμένα, συνεπώς το ένα θα είναι +\infty και το άλλο θα είναι -\infty.

συνεπώς υπάρχει αντίστροφη με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.

Επίσης εύκολα προκύπτει ότι η αντίστροφη g=f^{-1} είναι η g(x)=\frac {2x^3-3x-3}{2}, x \in \mathbb{R}

Τώρα η αντίστροφη θα είναι και αυτή γνησίως μονότονη στο \mathbb{R} με το ίδιο είδος μονοτονίας που

έχει η συνάρτηση, άρα η παράγωγός της θα διατηρεί πρόσημο, όμως g{'}(x)=x^2-\frac {3}{2}, x \in \mathbb{R}


Σπύρος Καπελλίδης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4227
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Νοέμ 24, 2011 8:02 am

Σπύρο, ευχαριστώ. Έψαχνα ώρες να βρώ λύση και πράγματι άρχισα να αμφισβητώ την ορθότητα της εκφώνησης.
Να είσαι καλά.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Νοέμ 24, 2011 3:29 pm

Ο λόγος που έδωσα εξαρχής την συγκεκριμένη παραπομπή κι όχι κάποια άλλη που η συνάρτηση έβγαινε συνεχής, καθώς υπάρχουν καμιά δεκάρια εδώ μέσα στο :logo: , ήταν διότι με βάση τα σχόλια σου και την μορφή της δεδομένης σχέσης, δηλαδή το '''ύποπτο'' μείον στο πρώτο μέλος και την γνησίως αύξουσα πρωτοβάθμια συνάρτηση στο β' μέλος, έκρινα πως πιθανότερο ήταν η συγκεκριμένη συνάρτηση να ήταν ασυνεχής και να μπορεί να αποδειχθεί με επιχειρήματα παρόμοια με τα επιχειρήματα της παραπομπής, όπως και συνέβη. Την επόμενη φορά δεν θα ξαναγράψω σκέτο ''θύμισε''.


Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alexandropoulos » Παρ Δεκ 23, 2011 5:20 pm

s.kap έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Έστω συνάρτηση f:R\rightarrow R  , 2f^{3}(x)-3f(x)=2x+3 για κάθε x\epsilon R.
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R
Δημήτρη, καλημέρα

Η συνάρτηση αυτή που σου δώσανε δεν μπορεί να είναι συνεχής για τον εξής λόγο:

(περιγράφω τα βήματα σύντομα)

Με απαγωγή σε άτοπο.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι 1-1, άρα και από τη συνέχεια είναι γνησίως μονότονη.

Επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι τα όρια της στο άπειρο (που υπάρχουν σίγουρα, λόγω της μονοτονίας)δεν μπορεί να είναι

πεπερασμένα, συνεπώς το ένα θα είναι +\infty και το άλλο θα είναι -\infty.

συνεπώς υπάρχει αντίστροφη με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.

Επίσης εύκολα προκύπτει ότι η αντίστροφη g=f^{-1} είναι η g(x)=\frac {2x^3-3x-3}{2}, x \in \mathbb{R}

Τώρα η αντίστροφη θα είναι και αυτή γνησίως μονότονη στο \mathbb{R} με το ίδιο είδος μονοτονίας που

έχει η συνάρτηση, άρα η παράγωγός της θα διατηρεί πρόσημο, όμως g{'}(x)=x^2-\frac {3}{2}, x \in \mathbb{R}
Η συνάρτηση f(x)=ln(e^x+1) είναι γνησίως αύξουσα αλλά τα όρια στο μείον άπειρο είναι μηδέν, οπότε δεν έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Δεκ 23, 2011 7:33 pm

alexandropoulos έγραψε:Η συνάρτηση f(x)=ln(e^x+1) είναι γνησίως αύξουσα αλλά τα όρια στο μείον άπειρο είναι μηδέν, οπότε δεν έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών
Η παραπάνω συλλογιστική του Σπύρου φαίνεται πιο αναλυτικα στην παραπομπή που την επαναλαμβάνει.
Διάβασε την εκεί γιατί υπάρχει μια παρανόηση θαρρώ.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Δεκ 23, 2011 7:55 pm

alexandropoulos έγραψε:
s.kap έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Έστω συνάρτηση f:R\rightarrow R  , 2f^{3}(x)-3f(x)=2x+3 για κάθε x\epsilon R.
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R
Δημήτρη, καλημέρα

Η συνάρτηση αυτή που σου δώσανε δεν μπορεί να είναι συνεχής για τον εξής λόγο:

(περιγράφω τα βήματα σύντομα)

Με απαγωγή σε άτοπο.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι 1-1, άρα και από τη συνέχεια είναι γνησίως μονότονη.

Επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι τα όρια της στο άπειρο (που υπάρχουν σίγουρα, λόγω της μονοτονίας)δεν μπορεί να είναι

πεπερασμένα, συνεπώς το ένα θα είναι +\infty και το άλλο θα είναι -\infty.

συνεπώς υπάρχει αντίστροφη με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.

Επίσης εύκολα προκύπτει ότι η αντίστροφη g=f^{-1} είναι η g(x)=\frac {2x^3-3x-3}{2}, x \in \mathbb{R}

Τώρα η αντίστροφη θα είναι και αυτή γνησίως μονότονη στο \mathbb{R} με το ίδιο είδος μονοτονίας που

έχει η συνάρτηση, άρα η παράγωγός της θα διατηρεί πρόσημο, όμως g{'}(x)=x^2-\frac {3}{2}, x \in \mathbb{R}
Η συνάρτηση f(x)=ln(e^x+1) είναι γνησίως αύξουσα αλλά τα όρια στο μείον άπειρο είναι μηδέν, οπότε δεν έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών
Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς θέλεις να δείξεις με το "αντιπαράδειγμα σου" Ο δικός μου ισχυρισμός είναι σαφής : Μία συνάρτηση συνεχής γνησίως μονότονη που στο σύν άπειρο και στο πλην άπειρο έχει μη πεπερασμένα όρια έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών. Είναι λάθος ο ισχυρισμός;
Η f(x)=ln(e^x+1) στο πλην άπειρο έχει πεπερασμένο όριο


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια συνάρτησης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alexandropoulos » Σάβ Δεκ 24, 2011 2:13 pm

η διαφωνία μου και το αντιπαράδειγμα οφείλεται στη διατύπωση για τα άπειρα όρια. Δυστυχώς δεν μπορούσα να απομωνώσω το συγκεκροιμένο τμήμα για παράθεση.
Ευχαριστώ για την παραπομπή.


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης