ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Νοέμ 24, 2011 12:34 am

...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν f:R\to Rσυνεχής και γνήσια αύξουσα στο R να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=-3x έχει μοναδική ρίζα στο R

Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 24, 2011 1:25 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν f:R\to Rσυνεχής και γνήσια αύξουσα στο R να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=-3x έχει μοναδική ρίζα στο R

Βασίλης
Βασίλη καλησπέρα
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{ 
g \to g\left( x \right) = f\left( x \right) + 3x 
} η οποία είναι προφανώς γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ 
R 
} (άθροισμα γνησίως αυξουσών) και συνεχής στο \displaystyle{ 
R 
} (άθροισμα συνεχών).

Έστω ότι η εξίσωση \displaystyle{ 
f\left( x \right) =  - 3x 
} είναι αδύνατη στο \displaystyle{ 
R 
} τότε θα ισχύει: \displaystyle{ 
f\left( x \right) \ne  - 3x,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x \ne 0,\forall x \in R \Leftrightarrow g\left( x \right) \ne 0,\forall x \in R 
}

και επειδή η \displaystyle{ 
g 
} είναι συνεχής (άθροισμα συνεχών) θα διατηρεί το πρόσημό της.

Έστω ότι \displaystyle{ 
g\left( x \right) > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) >  - 3x,\forall x \in R \Rightarrow f\left( x \right) >  - 3x > 0,\forall x \in \left( { - \infty ,0} \right) \Rightarrow  
}

\displaystyle{ 
0 < \frac{1} 
{{f\left( x \right)}} < \frac{1} 
{{ - 3x}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } 0 = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1} 
{{ - 3x}}} \right) \to \left( {{\rm K}.\Pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \varsigma } \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1} 
{{f\left( x \right)}} = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ,0} \right)} \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty } 
} άτοπο αφού η \displaystyle{ 
f 
} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ 
R 
}

και επομένως ισχύει: \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L_1  < L_2  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right),L_1 ,L_2  \in R \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\} 
} (τα όρια υπάρχουν λόγω συνέχειας)

Με όμοιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι: \displaystyle{ 
g\left( x \right) < 0,\forall x \in R \Rightarrow  \ldots  
} δουλεύοντας ομοίως στο διάστημα \displaystyle{ 
\left( {0, + \infty } \right) 
}

άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{ 
x_0  \in R:g\left( {x_0 } \right) = 0 \Leftrightarrow  \ldots \boxed{f\left( {x_0 } \right) =  - 3x_0 } 
} το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της γνήσιας μονοτονίας της \displaystyle{ 
g 
}


Φιλικά
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
dimitrisbaltas
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 20, 2011 2:22 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitrisbaltas » Πέμ Νοέμ 24, 2011 2:08 am

Βασίλη καλησπέρα και από εμένα. Είναι πράγματι μια αξιόλογη άσκηση λόγω της καλής χρήσης των ορισμών και εννοιών που απαιτούνται για την επίλυση της. 1) Η ιδιότητα της τριχοτόμησης στην διάταξη των πραγματικών αριθμών(βοήθησε στην απόδειξη της ύπαρξης μέσω της αποκλείσεως των άλλων δυο). 2) η συνέχεια σε διάστημα 3) η γνήσια μονοτονία(καθοριστικό δεδομένο για την απόδειξη της μοναδικότητας). Καλό βράδυ σε όλους τους φίλους


''Σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη θεωρία υπάρχει τόση πραγματική επιστήμη μέσα της όσα είναι τα Μαθηματικά της''. Immanuel Kant (18ος αιώνας)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Νοέμ 24, 2011 2:26 am

Η λύση διεγράφη από εμένα αφού είχε ένα ουσιώδες λάθος σε πρόσημο,τέτοιο ώστε να ξεγελάει!
Αν βρω κάτι σε αυτόν τον δρόμο θα επανέλθω.
Ζητώ συγνώμη!
Χ.Κ
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Πέμ Νοέμ 24, 2011 11:57 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Νοέμ 24, 2011 10:17 am

...Καλημέρα :logo: με ένα ευχαριστώ στο Στάθη και στο Χρήστο γιά την ενασχόληση και τις διαφορετικές αντιμετωπίσεις και το ανοιχτό "παιχνίδι"
που γίνεται..και δίνω και εγώ την δική μου σκέψη κάνοντας κοντινές μπαλλιές....

Αρκεί η εξίσωση f(x)+3x=0 να έχει μοναδική λύση στο R. Έτσι αν είναι g(x)=f(x)+3x τότε g(0)=f(0)

Στην περίπτωση που f(0)=0 προφανώς ρίζα το 0 διαφορετικά f(0)>0 ή f(0)<0

Στη περίπτωση που f(0)>0 τοτε είναι g(-\frac{f(0)}{3})=f(-\frac{f(0)}{3})-f(0) και επειδή -\frac{f(0)}{3}<0 και f γνήσια αύξουσα ισχύει f(-\frac{f(0)}{3})<f(0) άρα

g(-\frac{f(0)}{3})<0 και αφού g(0)=f(0)>0 σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ρίζα της g στο (-\frac{f(0)}{3},\,\,0)

Ακόμη τώρα επειδή για {{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in R με {{x}_{1}}<{{x}_{2}} ισχύει 3{{x}_{1}}<3{{x}_{2}} και επειδή η f γνήσια αύξουσα f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

f({{x}_{1}})+3{{x}_{1}}<f({{x}_{2}})+3{{x}_{2}} δηλαδή g({{x}_{1}})<g({{x}_{2}}) άρα η g γνήσια αύξουσα στο Rοπότε η ρίζα της είναι μοναδική στο R

Ανάλογα αν είναι f(0)<0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Νοέμ 24, 2011 2:46 pm

Ερώτηση το -\frac{(f(0)}{3} πως βρέθηκε στο σημείο f(0)\succ 0 τότε.....
Φιλικά
Γ.Σ


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Νοέμ 24, 2011 10:25 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν f:R\to Rσυνεχής και γνήσια αύξουσα στο R να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=-3x έχει μοναδική ρίζα στο R

Βασίλης
Σκεφτόμενος πάνω σε αυτό το διαισθητικά προφανές συμπέρασμα, κατέληξα στην εξής διατύπωση ενός θέματος που περικλείει την ωραία αυτή άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω συνάρτηση f: \mathbb R \to \mathbb R . Να αποδείξετε ότι :

α) Αν η f έχει στο -\infty όριο το +\infty ή στο +\infty όριο το -\infty , δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα.

β) Αν η f έχει στο -\infty όριο το -\infty ή στο +\infty όριο το +\infty , δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση f(x)=ax, a<0 έχει μοναδική τουλάχιστον μία λύση.

Με την αντιμετώπιση του Στάθη και με τα υποερωτήματα ,η άσκηση αυτή θεωρώ πως είναι πια κάπως προσιτή σε μαθητές με καλή γνώση των θεωρημάτων της συνέχειας και των ορίων.

Μπάμπης

(Eυχαριστώ τον Σπύρο Καπελίδη που στο γ΄μου υπέδειξε γρήγορα την παράλειψη της μονοτονίας της f.)


dimitrisbaltas
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 20, 2011 2:22 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitrisbaltas » Πέμ Νοέμ 24, 2011 10:41 pm

Όπως επίσης αν απαιτήσουμε την μονοτονία της f μπορούμε να λύσουμε το θέμα στην γενική περίπτωση που f(x)=ax ,a<0 όπως το έθεσε ο Βασίλης. Είναι πραγματικά μια όμορφη άσκηση γιατί "δένει" υπέροχα την διαίσθηση με την λογική και κατά την γνώμη πολλών αυτό είναι το ομορφότερο στην Ανάλυση...


''Σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη θεωρία υπάρχει τόση πραγματική επιστήμη μέσα της όσα είναι τα Μαθηματικά της''. Immanuel Kant (18ος αιώνας)
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Νοέμ 25, 2011 12:37 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν f:R\to Rσυνεχής και γνήσια αύξουσα στο R να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=-3x έχει μοναδική ρίζα στο R

Βασίλης
Σκεφτόμενος πάνω σε αυτό το διαισθητικά προφανές συμπέρασμα, κατέληξα στην εξής διατύπωση ενός θέματος που περικλείει την ωραία αυτή άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω συνάρτηση f: \mathbb R \to \mathbb R . Να αποδείξετε ότι :

α) Αν η f έχει στο -\infty όριο το +\infty ή στο +\infty όριο το -\infty , δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα.

β) Αν η f έχει στο -\infty όριο το -\infty ή στο +\infty όριο το +\infty , δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση f(x)=ax, a<0 έχει μοναδική λύση.

Με την αντιμετώπιση του Στάθη και με τα υποερωτήματα ,η άσκηση αυτή θεωρώ πως είναι πια κάπως προσιτή σε μαθητές με καλή γνώση των θεωρημάτων της συνέχειας και των ορίων.

Μπάμπης

(Eυχαριστώ τον Σπύρο Καπελίδη που στο γ΄μου υπέδειξε γρήγορα την παράλειψη της μονοτονίας της f.)
Μπάμπη, καλημέρα, θα ήθελα να ασχοληθώ με το θέμα σου, αν και έχω κάποιες αμφιβολίες για

το κατά πόσο η προσέγγιση αυτή είναι για τους πολλούς μαθητές.

Για το α) Εφ' όσον \displaystyle{\lim_{x \to - \infty}f(x)=+\infty} θα έχουμε πώς "κοντά στο πλην άπειρο" οι τιμές της συνάρτησης είναι

θετικές. Αυτό μεταφραζόμενο μπορεί να μας δώσει το εξής χρήσιμο για την περίπτωση μας συμπέρασμα

Υπάρχει x_1<0 ώστε f(x_1)>0.

Εφ' όσον \displaystyle{\lim_{x \to + \infty}f(x)=-\infty} θα έχουμε πώς "κοντά στο συν άπειρο" οι τιμές της συνάρτησης είναι

αρνητικές. Αυτό μεταφραζόμενο μπορεί να μας δώσει το εξής χρήσιμο για την περίπτωση μας συμπέρασμα

Υπάρχει x_2>0 ώστε f(x_2)<0.

Αυτό όμως είναι ασυμβίβαστο με το ότι η f είναι αύξουσα, γιατί υπάρχουν x_1,x_2 με x_1<0<x_2

και f(x_1)>0>f(x_2)

Με ανάλογο τρόπο δουλεύουμε και για το β)

Για το γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-ax, x\in \mathbb{R}

Έχουμε \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)=l _1\in \mathbb{R} \vee - \infty} και

\displaystyle{\lim_{x \to+\infty}f(x)=l _2\in \mathbb{R} \vee \infty}.

Αν \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)=l _1}, τότε \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=\lim_{\x \to -\infty}\left(x\left(\frac {f(x)}{x}-a\right)\right)=-\infty}

Αν \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty}, τότε \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty}

Δηλαδή σε κάθε περίπτωση \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty}

(Εδώ έγινε χρήση της πρότασης ότι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση έχει όριο στο πλήν άπειρο ή έναν αριθμό ή πλήν

άπειρο)


Ομοίως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι

\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}

Αν f(0)=0 το ζητούμενο είναι προφανές.

f(0)>0, τότε επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε 0 \in g\left((-\infty,0)\right)=(-\infty,f(0))

f(0)<0, τότε επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε 0 \in g\left((0, +\infty)\right)=(f(0), +\infty)

Άρα σε κάθε περίπτωση το ζητούμενο αληθεύει


Σπύρος Καπελλίδης
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Νοέμ 25, 2011 2:27 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ

Έστω συνάρτηση f: \mathbb R \to \mathbb R . Να αποδείξετε ότι :

α) Αν η f έχει στο -\infty όριο το +\infty ή στο +\infty όριο το -\infty , δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα.

β) Αν η f έχει στο -\infty όριο το -\infty ή στο +\infty όριο το +\infty , δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση f(x)=ax, a<0 έχει μοναδική λύση.

Μπάμπης

(Eυχαριστώ τον Σπύρο Καπελίδη που στο γ΄μου υπέδειξε γρήγορα την παράλειψη της μονοτονίας της f.)

α)Ας υποθέσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Έστω τυχαίο a \in \mathbb R και x<a.Τότε f(x)<f(a) και έτσι

\displaystyle{\lim_{x\to -\infty} f(x) \leq f(a)},

δηλαδή \displaystyle{+\infty \leq f(a) } , που είναι άτοπο .

Όμοια εργαζόμαστε για το β) ενώ για το γ) δουλεύουμε όπως ο Στάθης :
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Έστω ότι η εξίσωση \displaystyle{ 
f\left( x \right) =  - 3x 
} είναι αδύνατη στο \displaystyle{ 
R 
} τότε θα ισχύει: \displaystyle{ 
f\left( x \right) \ne  - 3x,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x \ne 0,\forall x \in R \Leftrightarrow g\left( x \right) \ne 0,\forall x \in R 
}

και επειδή η \displaystyle{ 
g 
} είναι συνεχής (άθροισμα συνεχών) θα διατηρεί το πρόσημό της.

Έστω ότι \displaystyle{ 
g\left( x \right) > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) >  - 3x,\forall x \in R
Από την παραπάνω σχέση παίρνουμε με το γνωστό τρόπο ότι \displaystyle {\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty}.

Έτσι προκύπτει ότι και \displaystyle {\lim_{x\to -\infty} g(x)=+\infty}.


Όμως η g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε ,σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα ,καταλήγουμε σε άτοπο .Αν η g έχει αντίθετο πρόσημο, εργαζόμαστε ανάλογα αλλά με όριο στο +\infty.

Η μοναδικότητα της ρίζας έχει ήδη απαντηθεί και στα παραπάνω μηνύματα.


Μπάμπης


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Νοέμ 25, 2011 2:34 pm

Μπάμπη, ωραία σύντομη και σχολική λύση που δεν μου πήγε στο μυαλό :clap2:


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Πέμ Δεκ 15, 2011 12:53 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν f:R\to Rσυνεχής και γνήσια αύξουσα στο R να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=-3x έχει μοναδική ρίζα στο R

Βασίλης
Μια λύση από τον Νίκο Ζανταρίδη με τον συνήθη τρόπο του, "απαγωγή σε άτοπο"!

Θεωρώ την συνάρτηση g\left( x \right) = f\left( x \right) + 3x η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R (ως άθροισμα γν. αύξουσα συναρτήσεων).

Έστω ότι η εξίσωση f\left( x \right) =  - 3x δεν έχει λύση στο R, τότε για κάθε x \in R θα ισχύει g\left( x \right) \ne 0 και επειδή η g είναι συνεχής στο R διατηρεί σ’ αυτό σταθερό πρόσημο.

Δηλαδή θα είναι g\left( x \right) > 0 για κάθε x \in R ή g\left( x \right) < 0 για κάθε x \in R.

Έστω g\left( x \right) > 0 για κάθε x \in R τότε για κάθε x \in R ισχύει g\left( x \right) > 0 \Rightarrow f\left( x \right) + 3x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) >  - 3x\,\,\,\,\,\left( 1 \right)

Από την (1) θέτοντας όπου x το - \frac{{f\left( x \right)}}{3} έχουμε,

f\left( { - \frac{{f\left( x \right)}}{3}} \right) > f\left( x \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{f: \nearrow }  - \frac{{f\left( x \right)}}{3} > x \Rightarrow f\left( x \right) <  - 3x

άτοπο (αφού f\left( x \right) >  - 3x για κάθε x \in R από την (1) )

Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν g\left( x \right) < 0 για κάθε x \in R.

Άρα η εξίσωση f\left( x \right) =  - 3x έχει λύση στο R και μάλιστα μοναδική αφού η g είναι γνησίως αύξουσα στο R.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης