ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

#1

...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν $f:R\to R$ συνεχής και γνήσια αύξουσα στο

να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=-3x

έχει μοναδική ρίζα στο

Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν $f:R\to R$ συνεχής και γνήσια αύξουσα στο να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο

Βασίλης

Βασίλη καλησπέρα
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{ g \to g\left( x \right) = f\left( x \right) + 3x }$ η οποία είναι προφανώς γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ R }$ (άθροισμα γνησίως αυξουσών) και συνεχής στο $\displaystyle{ R }$ (άθροισμα συνεχών).

Έστω ότι η εξίσωση $\displaystyle{ f\left( x \right) = - 3x }$ είναι αδύνατη στο $\displaystyle{ R }$ τότε θα ισχύει: $\displaystyle{ f\left( x \right) \ne - 3x,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x \ne 0,\forall x \in R \Leftrightarrow g\left( x \right) \ne 0,\forall x \in R }$

και επειδή η $\displaystyle{ g }$ είναι συνεχής (άθροισμα συνεχών) θα διατηρεί το πρόσημό της.

Έστω ότι $\displaystyle{ g\left( x \right) > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) > - 3x,\forall x \in R \Rightarrow f\left( x \right) > - 3x > 0,\forall x \in \left( { - \infty ,0} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ 0 < \frac{1} {{f\left( x \right)}} < \frac{1} {{ - 3x}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 0 = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1} {{ - 3x}}} \right) \to \left( {{\rm K}.\Pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \varsigma } \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1} {{f\left( x \right)}} = 0\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ,0} \right)} \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty } }$ άτοπο αφού η $\displaystyle{ f }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ R }$

και επομένως ισχύει: $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L_1 < L_2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right),L_1 ,L_2 \in R \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\} }$ (τα όρια υπάρχουν λόγω συνέχειας)

Με όμοιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι: $\displaystyle{ g\left( x \right) < 0,\forall x \in R \Rightarrow \ldots }$ δουλεύοντας ομοίως στο διάστημα $\displaystyle{ \left( {0, + \infty } \right) }$

άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{ x_0 \in R:g\left( {x_0 } \right) = 0 \Leftrightarrow \ldots \boxed{f\left( {x_0 } \right) = - 3x_0 } }$ το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της γνήσιας μονοτονίας της $\displaystyle{ g }$

Φιλικά
Στάθης

dimitrisbaltas · #3

Βασίλη καλησπέρα και από εμένα. Είναι πράγματι μια αξιόλογη άσκηση λόγω της καλής χρήσης των ορισμών και εννοιών που απαιτούνται για την επίλυση της. 1) Η ιδιότητα της τριχοτόμησης στην διάταξη των πραγματικών αριθμών(βοήθησε στην απόδειξη της ύπαρξης μέσω της αποκλείσεως των άλλων δυο). 2) η συνέχεια σε διάστημα 3) η γνήσια μονοτονία(καθοριστικό δεδομένο για την απόδειξη της μοναδικότητας). Καλό βράδυ σε όλους τους φίλους

#4

Η λύση διεγράφη από εμένα αφού είχε ένα ουσιώδες λάθος σε πρόσημο,τέτοιο ώστε να ξεγελάει!
Αν βρω κάτι σε αυτόν τον δρόμο θα επανέλθω.
Ζητώ συγνώμη!
Χ.Κ

#5

...Καλημέρα

με ένα ευχαριστώ στο Στάθη και στο Χρήστο γιά την ενασχόληση και τις διαφορετικές αντιμετωπίσεις και το ανοιχτό "παιχνίδι"
που γίνεται..και δίνω και εγώ την δική μου σκέψη κάνοντας κοντινές μπαλλιές....

Αρκεί η εξίσωση f(x)+3x=0

να έχει μοναδική λύση στο

. Έτσι αν είναι g(x)=f(x)+3x

τότε

Στην περίπτωση που f(0)=0

προφανώς ρίζα το

διαφορετικά f(0)>0

ή

Στη περίπτωση που f(0)>0

τοτε είναι $g(-\frac{f(0)}{3})=f(-\frac{f(0)}{3})-f(0)$ και επειδή $-\frac{f(0)}{3}<0$ και

γνήσια αύξουσα ισχύει $f(-\frac{f(0)}{3})<f(0)$ άρα

$g(-\frac{f(0)}{3})<0$ και αφού g(0)=f(0)>0

σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ρίζα της

στο $(-\frac{f(0)}{3},\,\,0)$

Ακόμη τώρα επειδή για ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in R$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ισχύει $3{{x}_{1}}<3{{x}_{2}}$ και επειδή η

γνήσια αύξουσα $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

$f({{x}_{1}})+3{{x}_{1}}<f({{x}_{2}})+3{{x}_{2}}$ δηλαδή $g({{x}_{1}})<g({{x}_{2}})$ άρα η

γνήσια αύξουσα στο

οπότε η ρίζα της είναι μοναδική στο

Ανάλογα αν είναι f(0)<0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

STOPJOHN · #6

Ερώτηση το $-\frac{(f(0)}{3}$ πως βρέθηκε στο σημείο $f(0)\succ 0$ τότε.....
Φιλικά
Γ.Σ

#7

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν $f:R\to R$ συνεχής και γνήσια αύξουσα στο να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο

Βασίλης

Σκεφτόμενος πάνω σε αυτό το διαισθητικά προφανές συμπέρασμα, κατέληξα στην εξής διατύπωση ενός θέματος που περικλείει την ωραία αυτή άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb R \to \mathbb R$ . Να αποδείξετε ότι :

α) Αν η

έχει στο $-\infty$ όριο το $+\infty$ ή στο $+\infty$ όριο το $-\infty$ , δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα.

β) Αν η

έχει στο $-\infty$ όριο το $-\infty$ ή στο $+\infty$ όριο το $+\infty$ , δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση f(x)=ax, a<0

έχει μοναδική τουλάχιστον μία λύση.

Με την αντιμετώπιση του Στάθη και με τα υποερωτήματα ,η άσκηση αυτή θεωρώ πως είναι πια κάπως προσιτή σε μαθητές με καλή γνώση των θεωρημάτων της συνέχειας και των ορίων.

Μπάμπης

(Eυχαριστώ τον Σπύρο Καπελίδη που στο γ΄μου υπέδειξε γρήγορα την παράλειψη της μονοτονίας της

.)

dimitrisbaltas · #8

Όπως επίσης αν απαιτήσουμε την μονοτονία της

μπορούμε να λύσουμε το θέμα στην γενική περίπτωση που f(x)=ax ,a<0

όπως το έθεσε ο Βασίλης. Είναι πραγματικά μια όμορφη άσκηση γιατί "δένει" υπέροχα την διαίσθηση με την λογική και κατά την γνώμη πολλών αυτό είναι το ομορφότερο στην Ανάλυση...

#9

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν $f:R\to R$ συνεχής και γνήσια αύξουσα στο να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο

Βασίλης
Σκεφτόμενος πάνω σε αυτό το διαισθητικά προφανές συμπέρασμα, κατέληξα στην εξής διατύπωση ενός θέματος που περικλείει την ωραία αυτή άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb R \to \mathbb R$ . Να αποδείξετε ότι :

α) Αν η έχει στο $-\infty$ όριο το $+\infty$ ή στο $+\infty$ όριο το $-\infty$ , δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα.

β) Αν η έχει στο $-\infty$ όριο το $-\infty$ ή στο $+\infty$ όριο το $+\infty$ , δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση.

Με την αντιμετώπιση του Στάθη και με τα υποερωτήματα ,η άσκηση αυτή θεωρώ πως είναι πια κάπως προσιτή σε μαθητές με καλή γνώση των θεωρημάτων της συνέχειας και των ορίων.

Μπάμπης

(Eυχαριστώ τον Σπύρο Καπελίδη που στο γ΄μου υπέδειξε γρήγορα την παράλειψη της μονοτονίας της .)

Μπάμπη, καλημέρα, θα ήθελα να ασχοληθώ με το θέμα σου, αν και έχω κάποιες αμφιβολίες για

το κατά πόσο η προσέγγιση αυτή είναι για τους πολλούς μαθητές.

Για το α) Εφ' όσον $\displaystyle{\lim_{x \to - \infty}f(x)=+\infty}$ θα έχουμε πώς "κοντά στο πλην άπειρο" οι τιμές της συνάρτησης είναι

θετικές. Αυτό μεταφραζόμενο μπορεί να μας δώσει το εξής χρήσιμο για την περίπτωση μας συμπέρασμα

Υπάρχει x_1<0

ώστε

.

Εφ' όσον $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}f(x)=-\infty}$ θα έχουμε πώς "κοντά στο συν άπειρο" οι τιμές της συνάρτησης είναι

αρνητικές. Αυτό μεταφραζόμενο μπορεί να μας δώσει το εξής χρήσιμο για την περίπτωση μας συμπέρασμα

Υπάρχει x_2>0

ώστε

.

Αυτό όμως είναι ασυμβίβαστο με το ότι η

είναι αύξουσα, γιατί υπάρχουν x_1,x_2

με

και

Με ανάλογο τρόπο δουλεύουμε και για το β)

Για το γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-ax, x\in \mathbb{R}$

Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)=l _1\in \mathbb{R} \vee - \infty}$ και

$\displaystyle{\lim_{x \to+\infty}f(x)=l _2\in \mathbb{R} \vee \infty}$ .

Αν $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)=l _1}$ , τότε $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=\lim_{\x \to -\infty}\left(x\left(\frac {f(x)}{x}-a\right)\right)=-\infty}$

Αν $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty}$ , τότε $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty}$

Δηλαδή σε κάθε περίπτωση $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty}$

(Εδώ έγινε χρήση της πρότασης ότι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση έχει όριο στο πλήν άπειρο ή έναν αριθμό ή πλήν

άπειρο)

Ομοίως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι

$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}$

Αν f(0)=0

το ζητούμενο είναι προφανές.

Aν f(0)>0

, τότε επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε $0 \in g\left((-\infty,0)\right)=(-\infty,f(0))$

Aν f(0)<0

, τότε επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε $0 \in g\left((0, +\infty)\right)=(f(0), +\infty)$

Άρα σε κάθε περίπτωση το ζητούμενο αληθεύει

#10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb R \to \mathbb R$ . Να αποδείξετε ότι :

α) Αν η έχει στο $-\infty$ όριο το $+\infty$ ή στο $+\infty$ όριο το $-\infty$ , δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα.

β) Αν η έχει στο $-\infty$ όριο το $-\infty$ ή στο $+\infty$ όριο το $+\infty$ , δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση.

Μπάμπης

(Eυχαριστώ τον Σπύρο Καπελίδη που στο γ΄μου υπέδειξε γρήγορα την παράλειψη της μονοτονίας της .)

α)Ας υποθέσουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα. Έστω τυχαίο $a \in \mathbb R$ και x<a

.Τότε

και έτσι

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty} f(x) \leq f(a)}$ ,

δηλαδή $\displaystyle{+\infty \leq f(a) }$ , που είναι άτοπο .

Όμοια εργαζόμαστε για το β) ενώ για το γ) δουλεύουμε όπως ο Στάθης :

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Έστω ότι η εξίσωση $\displaystyle{ f\left( x \right) = - 3x }$ είναι αδύνατη στο $\displaystyle{ R }$ τότε θα ισχύει: $\displaystyle{ f\left( x \right) \ne - 3x,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x \ne 0,\forall x \in R \Leftrightarrow g\left( x \right) \ne 0,\forall x \in R }$

και επειδή η $\displaystyle{ g }$ είναι συνεχής (άθροισμα συνεχών) θα διατηρεί το πρόσημό της.

Έστω ότι $\displaystyle{ g\left( x \right) > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3x > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) > - 3x,\forall x \in R$

Από την παραπάνω σχέση παίρνουμε με το γνωστό τρόπο ότι $\displaystyle {\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty}$ .

Έτσι προκύπτει ότι και $\displaystyle {\lim_{x\to -\infty} g(x)=+\infty}$ .

Όμως η

είναι γνησίως αύξουσα, οπότε ,σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα ,καταλήγουμε σε άτοπο .Αν η

έχει αντίθετο πρόσημο, εργαζόμαστε ανάλογα αλλά με όριο στο $+\infty$ .

Η μοναδικότητα της ρίζας έχει ήδη απαντηθεί και στα παραπάνω μηνύματα.

Μπάμπης

#11

Μπάμπη, ωραία σύντομη και σχολική λύση που δεν μου πήγε στο μυαλό

Μάκης Χατζόπουλος · #12

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά
επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων....

Αν $f:R\to R$ συνεχής και γνήσια αύξουσα στο να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο

Βασίλης

Μια λύση από τον Νίκο Ζανταρίδη με τον συνήθη τρόπο του, "απαγωγή σε άτοπο"!

Θεωρώ την συνάρτηση $g\left( x \right) = f\left( x \right) + 3x$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο

(ως άθροισμα γν. αύξουσα συναρτήσεων).

Έστω ότι η εξίσωση $f\left( x \right) = - 3x$ δεν έχει λύση στο R, τότε για κάθε $x \in R$ θα ισχύει $g\left( x \right) \ne 0$ και επειδή η

είναι συνεχής στο

διατηρεί σ’ αυτό σταθερό πρόσημο.

Δηλαδή θα είναι $g\left( x \right) > 0$ για κάθε $x \in R$ ή $g\left( x \right) < 0$ για κάθε $x \in R$ .

Έστω $g\left( x \right) > 0$ για κάθε $x \in R$ τότε για κάθε $x \in R$ ισχύει $g\left( x \right) > 0 \Rightarrow f\left( x \right) + 3x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > - 3x\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Από την (1) θέτοντας όπου

το $- \frac{{f\left( x \right)}}{3}$ έχουμε,

$f\left( { - \frac{{f\left( x \right)}}{3}} \right) > f\left( x \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f: \nearrow } - \frac{{f\left( x \right)}}{3} > x \Rightarrow f\left( x \right) < - 3x$

άτοπο (αφού $f\left( x \right) > - 3x$ για κάθε $x \in R$ από την (1) )

Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν $g\left( x \right) < 0$ για κάθε $x \in R$ .

Άρα η εξίσωση $f\left( x \right) = - 3x$ έχει λύση στο

και μάλιστα μοναδική αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο

.

ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Re: ΕΝΑ ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ

Μέλη σε σύνδεση