bolzano II

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

bolzano II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:00 pm

Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  + \alpha x^2  + \beta  = 0 
} όπου \displaystyle{ 
\beta  > 0 
} και \displaystyle{ 
\alpha  + \beta  + 1 < 0 
} έχει τρεις πραγματικές ρίζες.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: bolzano II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:29 pm

H f είναι πολυωνυμική άρα και συνεχής στο R με lim_{x\rightarrow -\propto }f(x)=lim_{x\rightarrow -\propto }f(x)=-\propto άρα υπάρχει m<0 τέτοιο ώστε f(m)<0. Ακόμη f(0)=b>0 άρα από Bolzano υπάρχει x_{1}\in (m,0) τέτοιο ώστε f(x_{1})=0.
Είναι f(1)=a+b+1<0, άρα Bolzano υπάρχει x_{2}\in (0,1) τέτοιο ώστε f(x_{2})=0.
Τέλος lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=+\propto άρα υπαρχει c>0 τέτοιο ώστε f(c)>0 και θα υπάρχει x_{3}\in (1,c) τέτοιο ώστε f(x_{3})=0.
Επειδή η f είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού θα έχει το πολύ 3 πραγματικές ρίζες. Έτσι ( από παραπάνω ) η f έχει ακριβώς 3 ρίζες.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: bolzano II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:38 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  + \alpha x^2  + \beta  = 0 
} όπου \displaystyle{ 
\beta  > 0 
} και \displaystyle{ 
\alpha  + \beta  + 1 < 0 
} έχει τρεις πραγματικές ρίζες.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{ 
f\left( x \right) = x^3  + \alpha x^2  + \beta  
} Η \displaystyle{ 
f 
} είναι συνεχής στο \displaystyle{ 
R 
} (τύπος πολυωνυμικής)

Είναι \displaystyle{ 
f\left( 0 \right) = \beta  > 0 
} και \displaystyle{ 
f\left( 1 \right) = 1 + \alpha  + \beta  < 0 
} επομένως εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano στο διάστημα \displaystyle{ 
\left[ {0,1} \right] 
}

άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{ 
x_2  \in \left( {0,1} \right) 
} ώστε: \displaystyle{ 
f\left( {x_1 } \right) = 0 
}

Επειδή \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x^3  + \alpha x^2  + \beta } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x^3  =  - \infty  \Rightarrow  
} υπάρχει \displaystyle{ 
k < 0 
} (στην περιοχή του \displaystyle{ 
 - \infty  
}) ώστε \displaystyle{ 
f\left( k \right) < 0 
} και επίσης

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x^3  + \alpha x^2  + \beta } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x^3  =  + \infty  \Rightarrow  
}

υπάρχει \displaystyle{ 
m > 1 
} (στην περιοχή του \displaystyle{ 
 + \infty  
}) ώστε : \displaystyle{ 
f\left( m \right) > 0 
}. Τότε όμως στα διαστήματα \displaystyle{ 
\left[ {k,0} \right],\left[ {1,m} \right] 
} εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano

άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{ 
x_1  \in \left( {k,0} \right) 
} και ένα τουλάχιστον \displaystyle{ 
x_2  \in \left( {1,m} \right) 
} ώστε: \displaystyle{ 
f\left( {x_2 } \right) = f\left( {x_3 } \right) = 0 
}

Προφανώς είναι \displaystyle{ 
k < x_1  < 0 < x_2  < 1 < x_3  < m 
} και συνεπώς είναι \displaystyle{ 
x_1  \ne x_2  \ne x_3  \ne x_1  
}. Αρα η εξίσωση \displaystyle{ 
f\left( x \right) = 0 
} έχει τρεις τουλάχιστον πραγματικές ρίζες

Σε ότι αφορά την ακριβώς ρίζες υπάρχουν τα εξής:

Α) Με βάσει το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αλγεβρας (το οποίο δυστυχώς είναι εκτός σχολικής ύλης) κάθε πολυωνυμική εξίσωση \displaystyle{ 
\nu } βαθμού έχει στο σύνολο των μιγαδικών \displaystyle{ \nu  }

ακριβώς ρίζες και συνεπώς έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \displaystyle{ 
\nu } το πολύ ρίζες

Β) Με άτοπο με διαδοχικές εφαρμογές του Θεωρήματος του Rolle (η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

(τύπος πολυωνυμικής) για την 1η – 2η – 3η παράγωγο υποθέτοντας την ύπαρξη τεσσάρων διακεκριμέμων διαδοχικών ριζών


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: bolzano II

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:51 pm

...Καλησπέρα στην παρέα που σκέπτεται...να πω και εγώ την γνώμη μου γιά δύο πιό σεμνά διαστήματα...

Με f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+\beta το f(-1)=-1+a+\beta <-2 λόγω υπόθεσης άρα στο [-1,\,\,0] για την δεύτερη ρίζα και επειδή

f(x)={{x}^{2}}(x+a)+\beta το f(-a)=\beta >0 και επειδή a<-1-\beta \Leftrightarrow -a>1+\beta το -a>1 οπότε στο [1,\,-a] για την τρίτη ρίζα…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης