Σελίδα 1 από 1

bolzano II

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:00 pm
από Καρδαμίτσης Σπύρος
Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  + \alpha x^2  + \beta  = 0 
} όπου \displaystyle{ 
\beta  > 0 
} και \displaystyle{ 
\alpha  + \beta  + 1 < 0 
} έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Re: bolzano II

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:29 pm
από pito
H f είναι πολυωνυμική άρα και συνεχής στο R με lim_{x\rightarrow -\propto }f(x)=lim_{x\rightarrow -\propto }f(x)=-\propto άρα υπάρχει m<0 τέτοιο ώστε f(m)<0. Ακόμη f(0)=b>0 άρα από Bolzano υπάρχει x_{1}\in (m,0) τέτοιο ώστε f(x_{1})=0.
Είναι f(1)=a+b+1<0, άρα Bolzano υπάρχει x_{2}\in (0,1) τέτοιο ώστε f(x_{2})=0.
Τέλος lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=+\propto άρα υπαρχει c>0 τέτοιο ώστε f(c)>0 και θα υπάρχει x_{3}\in (1,c) τέτοιο ώστε f(x_{3})=0.
Επειδή η f είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού θα έχει το πολύ 3 πραγματικές ρίζες. Έτσι ( από παραπάνω ) η f έχει ακριβώς 3 ρίζες.

Re: bolzano II

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:38 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{ 
x^3  + \alpha x^2  + \beta  = 0 
} όπου \displaystyle{ 
\beta  > 0 
} και \displaystyle{ 
\alpha  + \beta  + 1 < 0 
} έχει τρεις πραγματικές ρίζες.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{ 
f\left( x \right) = x^3  + \alpha x^2  + \beta  
} Η \displaystyle{ 
f 
} είναι συνεχής στο \displaystyle{ 
R 
} (τύπος πολυωνυμικής)

Είναι \displaystyle{ 
f\left( 0 \right) = \beta  > 0 
} και \displaystyle{ 
f\left( 1 \right) = 1 + \alpha  + \beta  < 0 
} επομένως εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano στο διάστημα \displaystyle{ 
\left[ {0,1} \right] 
}

άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{ 
x_2  \in \left( {0,1} \right) 
} ώστε: \displaystyle{ 
f\left( {x_1 } \right) = 0 
}

Επειδή \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x^3  + \alpha x^2  + \beta } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x^3  =  - \infty  \Rightarrow  
} υπάρχει \displaystyle{ 
k < 0 
} (στην περιοχή του \displaystyle{ 
 - \infty  
}) ώστε \displaystyle{ 
f\left( k \right) < 0 
} και επίσης

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x^3  + \alpha x^2  + \beta } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x^3  =  + \infty  \Rightarrow  
}

υπάρχει \displaystyle{ 
m > 1 
} (στην περιοχή του \displaystyle{ 
 + \infty  
}) ώστε : \displaystyle{ 
f\left( m \right) > 0 
}. Τότε όμως στα διαστήματα \displaystyle{ 
\left[ {k,0} \right],\left[ {1,m} \right] 
} εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano

άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{ 
x_1  \in \left( {k,0} \right) 
} και ένα τουλάχιστον \displaystyle{ 
x_2  \in \left( {1,m} \right) 
} ώστε: \displaystyle{ 
f\left( {x_2 } \right) = f\left( {x_3 } \right) = 0 
}

Προφανώς είναι \displaystyle{ 
k < x_1  < 0 < x_2  < 1 < x_3  < m 
} και συνεπώς είναι \displaystyle{ 
x_1  \ne x_2  \ne x_3  \ne x_1  
}. Αρα η εξίσωση \displaystyle{ 
f\left( x \right) = 0 
} έχει τρεις τουλάχιστον πραγματικές ρίζες

Σε ότι αφορά την ακριβώς ρίζες υπάρχουν τα εξής:

Α) Με βάσει το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αλγεβρας (το οποίο δυστυχώς είναι εκτός σχολικής ύλης) κάθε πολυωνυμική εξίσωση \displaystyle{ 
\nu } βαθμού έχει στο σύνολο των μιγαδικών \displaystyle{ \nu  }

ακριβώς ρίζες και συνεπώς έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \displaystyle{ 
\nu } το πολύ ρίζες

Β) Με άτοπο με διαδοχικές εφαρμογές του Θεωρήματος του Rolle (η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

(τύπος πολυωνυμικής) για την 1η – 2η – 3η παράγωγο υποθέτοντας την ύπαρξη τεσσάρων διακεκριμέμων διαδοχικών ριζών


Στάθης

Re: bolzano II

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 27, 2011 11:51 pm
από KAKABASBASILEIOS
...Καλησπέρα στην παρέα που σκέπτεται...να πω και εγώ την γνώμη μου γιά δύο πιό σεμνά διαστήματα...

Με f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+\beta το f(-1)=-1+a+\beta <-2 λόγω υπόθεσης άρα στο [-1,\,\,0] για την δεύτερη ρίζα και επειδή

f(x)={{x}^{2}}(x+a)+\beta το f(-a)=\beta >0 και επειδή a<-1-\beta \Leftrightarrow -a>1+\beta το -a>1 οπότε στο [1,\,-a] για την τρίτη ρίζα…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης