Συναρτήσεις 7

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 7

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τετ Νοέμ 30, 2011 11:18 pm

Δύο ασκήσεις σε μία.

1) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R\displaystyle{\to} R με την ιδιότητα fog=gof.

Αν η εξίσωση f(x)=g(x) είναι αδύνατη στο R, να δείξετε ότι και η εξίσωση (fof)(x)=(gog)(x) είναι αδύνατη στο R.

2) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R\displaystyle{\to} R, για την οποία ισχύει f(1)+f(2)=f(3)+f(4).

Να δείξετε ότι η f δεν είναι αντιστρέψιμη.


Γιώργος Κ.
styt_geia
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 23, 2010 12:16 am

Re: Συναρτήσεις 7

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από styt_geia » Πέμ Δεκ 01, 2011 12:32 am

Γιώργος Κ77 έγραψε:
1) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R\displaystyle{\to} R με την ιδιότητα fog=gof.

Αν η εξίσωση f(x)=g(x) είναι αδύνατη στο R, να δείξετε ότι και η εξίσωση (fof)(x)=(gog)(x) είναι αδύνατη στο R.
Αφού η εξίσωση f(x)=g(x) είναι αδύνατη θα είναι f(x) \neq g(x),\,\,\forall x\in \mathbb{R}. Έστω x_0 \in \mathbb{R} με fof(x_0)=gog(x_0)=\lambda. Θέτουμε επίσης fog(x_0)=gof(x_0)=k. Τότε
\begin{matrix}g(\lambda)=(gofof)(x_0)=(fogof)(x_0)=f(k) \\ f(\lambda)=(fogog)(x_0)=(gofog)(x_0)=g(k)\end{matrix}
Έχουμε επομένως

\left(f(k)-g(k)\right)\left(f(\lambda)-g(\lambda)\right)=\left(g(\lambda)-f(\lambda)\right)\left(f(\lambda)-g(\lambda)\right)= \\ -\left(f(\lambda)-g(\lambda)\right)^2<0

Άρα από το Θεώρημα Βοlzano υπάρχει \xi \in (k,\lambda)(\lambda,k)) με f(\xi)=g(\xi), άτοπο. Άρα πράγματι η εξίσωση (fof)(x)=(gog)(x) είναι αδύνατη στο \mathbb{R}
τελευταία επεξεργασία από styt_geia σε Πέμ Δεκ 01, 2011 3:09 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Κώστας
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συναρτήσεις 7

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Δεκ 01, 2011 12:42 am

...Καλησπερίζω την παρέα με μία προσπάθεια στο (1) κομμάτι της άσκησης....

Έστω ότι υπάρχει {{x}_{0}}\in R ώστε f(f({{x}_{0}}))=g(g({{x}_{0}})) (1) τότε επειδή ηf(x)-g(x)\ne 0 λόγω υπόθεσης και συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Rάρα

f(x)-g(x)>0\,ή f(x)-g(x)<0\,

Στην περίπτωση που είναι f(x)>g(x),\,\,\,x\in R λόγω της (1) θα ισχύει f(g(g({{x}_{0}})))>g(f(f({{x}_{0}}))) (2) και λόγω του f(g(x))=g(f(x)) (3)θα ισχύει

g(f(g({{x}_{0}})))>f(g(f({{x}_{0}}))) και και επειδή λόγω (3) f(g({{x}_{0}}))=g(f({{x}_{0}}))θα ισχύει g(f(g({{x}_{0}})))>f(f(g({{x}_{0}})) άτοπο αφού f(x)>g(x),\,\,\,x\in R

Ανάλογα και όταν f(x)<g(x),\,\,\,x\in R

Τώρα γιά το(2)

Αν υποθέσουμε ότι η fότι είναι 1-1 τότε επειδή είναι και συνεχής στο Rθα είναι και γνήσια μονότονη στο R(…γνωστό λήμμα, εκτός σχολικής ύλης) και αν συμβαίνει να

είναι γνήσια αύξουσα από f(2)<f(3)\Leftrightarrow f(1)+f(2)<f(1)+f(4)και λόγω υπόθεσης προκύπτει f(3)+f(4)<f(1)+f(4)\Leftrightarrow f(3)<f(1) άτοπο

αφού f γνήσια αύξουσα. Ανάλογα αν f γνήσια φθίνουσα.


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 7

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Πέμ Δεκ 01, 2011 11:20 am

Από Θ.Μ.Ε.Τ. στο διάστημα [1,2], έχουμε :

m\leq f(x)\leq M, για κάθε x\in [1,2]. (1)

Η (1) για x=1 και x=2 αντίστοιχα, δίνει:

m\leq f(1)\leq M και m\leq f(2)\leq M. Προσθέτωντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι :

m\leq \frac{f(1)+f(2)}{2}\leq M, οπότε σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ., υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{1}\in [1,2], τέτοιο, ώστε f(x_{1})=\frac{f(1)+f(2)}{2}.

Όμοια, υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{2}\in [3,4], τέτοιο, ώστε f(x_{2})=\frac{f(3)+f(4)}{2}.

Άρα, σύμφωνα με την υπόθεση, θα ισχύει f(x_{1})=f(x_{2}).

Δηλαδή, υπάρχουν x_{1}\in [1,2] και x_{2}\in [3,4], με x_{1}\neq x_{2} τέτοια, ώστε f(x_{1})=f(x_{2}).

Συνεπώς, η f δεν είναι 1-1.


Γιώργος Κ.
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Συναρτήσεις 7

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Πέμ Δεκ 01, 2011 9:03 pm

Aν υπάρχει Χο τετοιο ώστε fof(xo)=gog(xo) και την συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x) για την οποία θα κάνω το Θ.Βolzano στο [f(xo), g(xo)] ,
τότε βγαίνει πολύ εύκολα το ατοπο.
Ευχαριστώ πολύ
dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 7

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιαν 06, 2012 8:34 pm

με αρκετές διαφορετικές λύσεις η άσκηση 2 εδώ(ερώτημα ε) κι εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες