Τη μια επί, την άλλη 1-1...

#1

Έστω $f,g:(0,\infty )\to (0,\infty )$ συναρτήσεις τέτοιες ώστε: $f(g(x)\cdot y)=g(x\cdot f(y)),\ \forall \ x,y\in \mathbb{R}.$
α) Να δείξετε ότι αν η

είναι επί τότε και η

είναι επί.
β) Να δείξετε ότι αν η

είναι 1-1 τότε και η

είναι 1-1.

#2

socrates έγραψε:Έστω $f,g:(0,\infty )\to (0,\infty )$ συναρτήσεις τέτοιες ώστε: $f(g(x)\cdot y)=g(x\cdot f(y)),\ \forall \ x,y\in \mathbb{R}.$
α) Να δείξετε ότι αν η είναι επί τότε και η είναι επί.
β) Να δείξετε ότι αν η είναι 1-1 τότε και η είναι 1-1.

α) Για

προκύπτει

για κάθε $x\in\mathbb{R}.$
Έστω $y_0\in(0,+\infty).$ Εφόσον η

είναι επί, θα υπάρχει $x_0\in(0,+\infty)$ ώστε g(x_0)=y_0.

Για $\displaystyle{x_1=\frac{x_0}{f(1)}}$ είναι f(g(x_1))=g(x_1f(1))=g(x_0)=y_0.

#3

socrates έγραψε:Έστω $f,g:(0,\infty )\to (0,\infty )$ συναρτήσεις τέτοιες ώστε: $f(g(x)\cdot y)=g(x\cdot f(y)),\ \forall \ x,y\in \mathbb{R}.$ (1)
α) Να δείξετε ότι αν η είναι επί τότε και η είναι επί.
β) Να δείξετε ότι αν η είναι 1-1 τότε και η είναι 1-1.

Για το β) Η (1) για y=g(y)

δίνει $f\left(g(x)g(y)\right)=g\left(xf(g(y))\right)$ (2)

Αλλά $f\left(g(x)g(y)\right)=g\left(yf(g(x))\right)$ (3)

Από (2) και (3) παίρνουμε $g\left(xf(g(y)\right)=g\left(yf(g(x))\right)$

και από το 1-1 της

παίρνουμε $\displaystyle{xf(g(y))=yf(g(x)) \Rightarrow \frac {f(g(y))}{y}=\frac {f(g(x))}{x}}$

Άρα η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac {f(g(x))}{x},x>0}$ είναι σταθερή, συνεπώς

$\displaystyle{f(g(x))=cx, x>0}$ (4)

Από την (4) συμπεραίνουμε ότι η

είναι επί και από το α), λόγω της συμμετρίας, θα είναι και η

επί.

Συνεπώς η $g^{-1}$ ορίζεται σε όλο το $(0,+\infty)$ .

Αν λοιπόν στην (4) βάλουμε όπου

το $g^{-1}(x)$ έχουμε $f(x)=cg^{-1}(x), x>0$ , οπότε προφανώς

η

είναι 1-1.

#4

Μια μικρή συμπλήρωση στα παραπάνω.

Όπως έδειξε ο Σπύρος, υπάρχει θετική σταθερά $\displaystyle{c}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f\left( {g\left( x \right)} \right) = cx}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right).}$

Χρησιμοποιώντας την πρώτη σχέση που έγραψε ο Παύλος, έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ ισχύει:

$\displaystyle{g\left( x \right) = g\left( {\frac{x}{{f\left( 1 \right)}}f\left( 1 \right)} \right) = f\left( {g\left( {\frac{x}{{f\left( 1 \right)}}} \right)} \right) = c\frac{x}{{f\left( 1 \right)}} = {c_1}x,}$

όπου $\displaystyle{{c_1}: = \frac{c}{{f\left( 1 \right)}}}$ θετική σταθερά.

Άρα, για $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ είναι:

$\displaystyle{f\left( {{c_1}x} \right) = cx,}$

οπότε τελικά είναι

$\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = Cx}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right),}$

όπου $\displaystyle{C: = \frac{c}{{{c_1}}}}$ θετική σταθερά.

Τη μια επί, την άλλη 1-1...

Τη μια επί, την άλλη 1-1...

Re: Τη μια επί, την άλλη 1-1...

Re: Τη μια επί, την άλλη 1-1...

Re: Τη μια επί, την άλλη 1-1...

Μέλη σε σύνδεση