Τη μια επί, την άλλη 1-1...

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τη μια επί, την άλλη 1-1...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 01, 2011 7:56 pm

Έστω f,g:(0,\infty )\to (0,\infty ) συναρτήσεις τέτοιες ώστε: f(g(x)\cdot y)=g(x\cdot f(y)),\ \forall \ x,y\in \mathbb{R}.
α) Να δείξετε ότι αν η g είναι επί τότε και η f είναι επί.
β) Να δείξετε ότι αν η g είναι 1-1 τότε και η f είναι 1-1.


Θανάσης Κοντογεώργης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τη μια επί, την άλλη 1-1...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Πέμ Δεκ 01, 2011 9:26 pm

socrates έγραψε:Έστω f,g:(0,\infty )\to (0,\infty ) συναρτήσεις τέτοιες ώστε: f(g(x)\cdot y)=g(x\cdot f(y)),\ \forall \ x,y\in \mathbb{R}.
α) Να δείξετε ότι αν η g είναι επί τότε και η f είναι επί.
β) Να δείξετε ότι αν η g είναι 1-1 τότε και η f είναι 1-1.
α) Για y=1 προκύπτει f(g(x))=g(xf(1)) για κάθε x\in\mathbb{R}.
Έστω y_0\in(0,+\infty). Εφόσον η g είναι επί, θα υπάρχει x_0\in(0,+\infty) ώστε g(x_0)=y_0.
Για \displaystyle{x_1=\frac{x_0}{f(1)}} είναι f(g(x_1))=g(x_1f(1))=g(x_0)=y_0.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τη μια επί, την άλλη 1-1...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Δεκ 02, 2011 11:36 am

socrates έγραψε:Έστω f,g:(0,\infty )\to (0,\infty ) συναρτήσεις τέτοιες ώστε: f(g(x)\cdot y)=g(x\cdot f(y)),\ \forall \ x,y\in \mathbb{R}. (1)
α) Να δείξετε ότι αν η g είναι επί τότε και η f είναι επί.
β) Να δείξετε ότι αν η g είναι 1-1 τότε και η f είναι 1-1.
Για το β) Η (1) για y=g(y) δίνει f\left(g(x)g(y)\right)=g\left(xf(g(y))\right) (2)

Αλλά f\left(g(x)g(y)\right)=g\left(yf(g(x))\right) (3)

Από (2) και (3) παίρνουμε g\left(xf(g(y)\right)=g\left(yf(g(x))\right)

και από το 1-1 της g παίρνουμε \displaystyle{xf(g(y))=yf(g(x)) \Rightarrow \frac {f(g(y))}{y}=\frac {f(g(x))}{x}}

Άρα η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac {f(g(x))}{x},x>0} είναι σταθερή, συνεπώς

\displaystyle{f(g(x))=cx, x>0} (4)

Από την (4) συμπεραίνουμε ότι η f είναι επί και από το α), λόγω της συμμετρίας, θα είναι και η g επί.

Συνεπώς η g^{-1} ορίζεται σε όλο το (0,+\infty).

Αν λοιπόν στην (4) βάλουμε όπου x το g^{-1}(x) έχουμε f(x)=cg^{-1}(x), x>0, οπότε προφανώς

η f είναι 1-1.


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1396
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Τη μια επί, την άλλη 1-1...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Δεκ 03, 2011 9:13 am

Μια μικρή συμπλήρωση στα παραπάνω.

Όπως έδειξε ο Σπύρος, υπάρχει θετική σταθερά \displaystyle{c} τέτοια, ώστε \displaystyle{f\left( {g\left( x \right)} \right) = cx} για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right).}

Χρησιμοποιώντας την πρώτη σχέση που έγραψε ο Παύλος, έχουμε ότι για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)} ισχύει:

\displaystyle{g\left( x \right) = g\left( {\frac{x}{{f\left( 1 \right)}}f\left( 1 \right)} \right) = f\left( {g\left( {\frac{x}{{f\left( 1 \right)}}} \right)} \right) = c\frac{x}{{f\left( 1 \right)}} = {c_1}x,}

όπου \displaystyle{{c_1}: = \frac{c}{{f\left( 1 \right)}}} θετική σταθερά.

Άρα, για \displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)} είναι:

\displaystyle{f\left( {{c_1}x} \right) = cx,}

οπότε τελικά είναι

\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = Cx}} για κάθε \displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right),}

όπου \displaystyle{C: = \frac{c}{{{c_1}}}} θετική σταθερά.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες