Σύντομη αλλά έξυπνη στο Bolzano

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Σύντομη αλλά έξυπνη στο Bolzano

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Τετ Δεκ 07, 2011 1:18 am

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=ln^2{x^2} -\sqrt{x}lnx^4+x}
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x_0\in (1,e) ώστε: f(x_0)=0

Διόρθωση:
Άλλαξα τη συνάρτηση μιας και η αρχική ήταν ότι να ναι :lol: Ευχαριστώ όσους μου το υπεδειξαν.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σύντομη αλλά έξυπνη στο Bolzano

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Δεκ 07, 2011 3:13 am

...αφού το ξενυχταμε...να κανουμε παρέα στις ωραίες ιδέες του Παναγιώτη

Η f ορίζεται στο (0,\,\,+\infty ) και γίνεται ο τύπος της f(x)=4{{\ln }^{2}}(x)-4\sqrt{x}\ln x+{{\sqrt{x}}^{2}}={{(2\ln x-\sqrt{x})}^{2}} έτσι αν θεωρήσουμε την

g(x)=2\ln x-\sqrt{x},\,\,\,x\in [1,\,\,e] που είναι συνεχής με g(1)=-1<0 και g(e)=2-\sqrt{e}>0 επειδή g(1)g(e)<0 από θεώρημα Bolzano θα υπάρχει

{{x}_{0}}\in (1,\,e) ώστε g({{x}_{0}})=0 και επειδή {g}'(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{x}-\frac{\sqrt{x}}{2x}=\frac{4-\sqrt{x}}{2x}>0,\,\,\,\,x\in (1,\,\,e) άρα η g γνήσια αύξουσα το {{x}_{0}}\in (1,\,e) είναι μοναδικό

οπότε αφού f({{x}_{0}})=0 η f(x)=0 έχει και αυτή μοναδική λύση στο (1,\,e)

Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Σύντομη αλλά έξυπνη στο Bolzano

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Τετ Δεκ 07, 2011 3:16 am

:coolspeak: και ώρα για :sleeping:


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης