Συναρτήσεις 9

Γιώργος Κ77 · #1

Δίνεται συνάρτηση $f: R\displaystyle{\to} R$ , για την οποία ισχύει :

f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))

, για κάθε $x,y \in R$ .

Αν f(k)=0

, $k \in R$ , να αποδείξετε ότι f(nk)=0

, για κάθε $n \in N^{*}$ .

#2

Aν θέσω όπου x=y=0

λαμβάνω εύκολα f(0)=0

(οπότε αληθεύει και για n=0

)
Τώρα θα χρησιμοποιήσω επαγωγή.
Για n=1

προφανώς ισχύει.
Δέχομαι πως ισχύει για n=m

Δηλαδή πως f(mk)=0

Θα αποδείξω πως ισχύει και για n=m+1

Θέτω στη δοθείσα όπου x->mk

και όπου

.
Τότε προκύπτει πως:
f[(m+1)k]+f[(m-1)k]=2[f(mk)+f(k)]

Όμως από το επαγωγικό βήμα έχω
1)f[(m-1)k)=0

και

Eπομένως

άρα και

για κάθε

φυσικό.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η συνάρτηση

εύκολα βγαίνει άρτια,οπότε το συμπέρασμα γενικεύεται για κάθε

ακέραιο.
Για του λόγου το αληθές, βάλτε αρχικά όπου y->x

και μετέπειτα όπου y->-x