Συναρτήσεις 9

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 9

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Κυρ Δεκ 11, 2011 11:27 am

Δίνεται συνάρτηση f: R\displaystyle{\to} R, για την οποία ισχύει :

f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), για κάθε x,y \in R.

Αν f(k)=0, k \in R, να αποδείξετε ότι f(nk)=0, για κάθε n \in N^{*}.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτήσεις 9

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Δεκ 11, 2011 1:15 pm

Aν θέσω όπου x=y=0 λαμβάνω εύκολα f(0)=0
(οπότε αληθεύει και για n=0)
Τώρα θα χρησιμοποιήσω επαγωγή.
Για n=1 προφανώς ισχύει.
Δέχομαι πως ισχύει για n=m
Δηλαδή πως f(mk)=0
Θα αποδείξω πως ισχύει και για n=m+1
Θέτω στη δοθείσα όπου x->mk και όπου y->k.
Τότε προκύπτει πως:
f[(m+1)k]+f[(m-1)k]=2[f(mk)+f(k)]
Όμως από το επαγωγικό βήμα έχω
1)f[(m-1)k)=0
2)f(mk)=0
και
f(k)=0
Eπομένως
f[(m+1)k]=0 άρα και
f[(nk)]=0 για κάθε n φυσικό.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η συνάρτηση f εύκολα βγαίνει άρτια,οπότε το συμπέρασμα γενικεύεται για κάθε n ακέραιο.
Για του λόγου το αληθές, βάλτε αρχικά όπου y->x και μετέπειτα όπου y->-x


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης