Άσκηση στο σύνολο τιμών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:

Άσκηση στο σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gian7 » Κυρ Δεκ 11, 2011 7:05 pm

Έστω συνάρτηση f , με τύπο f(x) =\frac{x^2 - \mu x + 4}{x^2 - 2x + 4}

Να βρεθεί η τιμή του \mu\in\mathbb{R} : f ( A_{f} ) = [ -1, \frac{5}{3}]


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στο σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Δεκ 11, 2011 11:25 pm

Η f έχει πεδίο ορισμού το \mathbb R αφού ο παρονομαστής έχει διακρίνουσα \Delta=-12<0.

Έστω \displaystyle{y=f(x)\Leftrightarrow y=\frac{x^2-\mu x+4}{x^2-2x+4}\Leftrightarrow yx^2-2xy+4y=x^2-\mu x+4\Leftrightarrow (y-1)x^2+(\mu-2x)y+4y-4=0} (1).

\bullety=1 από την (1) έχουμε (\mu-2)x=0 άρα \mu=2 (που δίνει τη σταθερή συνάρτηση ίση με 1 και απορρίπτεται) ή x=0 \in A_f.

\bullety\ne1 τότε η (1) έχει διακρίνουσα \displaystyle{\Delta=(\mu-2y)^2-4(y-1)(4y-4)=(\mu-2y)^2-(4y-4)^2=

=(\mu-2y-4y+4)(\mu-2y+4y-4)=(-6y+\mu+4)(2y+\mu-4)}. Για να έχει λύση η (1), πρέπει

\Delta\geq 0\Leftrightarrow (-6y+\mu+4)(2y+\mu-4)\geq 0. H αντίστοιχη εξίσωση έχει λύσεις \displaystyle{y_1=\frac{\mu+4}{6},~y_2=\frac{4-\mu}{2}}.

Άρα, πρέπει \displaystyle{\begin{cases} y_1=-1 \\ y_2=\frac{5}{3}\end{cases}} ή \displaystyle{\begin{cases} y_2=-1 \\ y_1=\frac{5}{3}\end{cases}} ισοδύναμα \displaystyle{\begin{cases} \frac{\mu+4}{6}=-1 \\ \frac{4-\mu}{2}=\frac{5}{3}\end{cases}} ή \displaystyle{\begin{cases} \frac{\mu+4}{6}=\frac{5}{3} \\ \frac{4-\mu}{2}=-1\end{cases}}. Το πρώτο σύστημα είναι αδύνατο

ενώ από το δεύτερο προκύπτει \mu=6.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Άσκηση στο σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Δεκ 11, 2011 11:28 pm

Πρέπει -1\leq f(x)\leq \frac{5}{3} άρα -1\leq \frac{x^{2}-\mu x+4}{x^{2}-2x+4}\Rightarrow \frac{x^{2}-\mu x+4+x^{2}-2x+4}{x^{2}-2x+4}\geq 0\Rightarrow 2x^{2}-(\mu +2)x+8\geq 0 (1) γιατί x^{2}-2x+4>0 αφού \Delta <0.

Για να ισχύει η (1) πρέπει \Delta \leq 0\Rightarrow (\mu +2)^{2}-64\leq 0\Rightarrow |\mu +2|\leq 8\Rightarrow -8\leq \mu +2\leq 8\Rightarrow -10\leq \mu \leq 6  (2)

Πρέπει ακόμη και \frac{x^{2}-\mu x+4}{x^{2}-2x+4}\leq \frac{5}{3}\Rightarrow \frac{3x^{2}-3\mu x+12-5x^{2}+10x-20}{3(x^{2}-2x+4)}\leq 0\Rightarrow -2x^{2}+(10-3\mu )x-8\leq 0 (3) γιατί 3(x^{2}-2x+4)>0.

Για να ισχύει η (3) πρέπει \Delta \leq 0\Rightarrow (10-3\mu )^{2}-64\leq 0\Rightarrow |10-3\mu |\leq 8\Rightarrow -8\leq 10-3\mu \leq 8\Rightarrow \frac{2}{3}\leq \mu \leq 6 (4)

Με συναλήθευση των (2), (4) προκύπτει ότι \mu \in [\frac{2}{3},6]

Η λύση μου δεν έχει καμία σχέση με αυτή του Γιώργου :oops: Κάνω λάθος;;;
τελευταία επεξεργασία από pito σε Δευ Δεκ 12, 2011 12:05 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στο σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Δεκ 11, 2011 11:33 pm

pito έγραψε: Η λύση μου δεν έχει καμία σχέση με αυτή του Γιώργου :oops: Κάνω λάθος;;;
Kάτι δεν πάει καλά... τουλάχιστον ένας από τους δύο έχει λάθος! :D


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στο σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Δεκ 11, 2011 11:58 pm

pito έγραψε:Πρέπει -1\leq f(x)\leq \frac{5}{3} άρα -1\leq \frac{x^{2}-\mu x+4}{x^{2}-2x+4}\Rightarrow \frac{x^{2}-\mu x+4+x^{2}-2x+4}{x^{2}-2x+4}\geq 0\Rightarrow 2x^{2}-(\mu +2)x+8\geq 0 (1) γιατί x^{2}-2x+4>0 αφού \Delta <0.

Για να ισχύει η (1) πρέπει \Delta \leq 0\Rightarrow (\mu +2)^{2}-64\leq 0\Rightarrow |\mu +2|\leq 8\Rightarrow -8\leq \mu +2\leq 8\Rightarrow -10\leq \mu \leq 6  (2)

Πρέπει ακόμη και \frac{x^{2}-\mu x+4}{x^{2}-2x+4}\leq \frac{5}{3}\Rightarrow \frac{3x^{2}-3\mu x+12-5x^{2}+10x-20}{3(x^{2}-2x+4)}\leq 0\Rightarrow -2x^{2}+(10-3\mu )x-8\leq 0 (3) γιατί 3(x^{2}-2x+4)>0.

Για να ισχύει η (3) πρέπει \Delta \leq 0\Rightarrow (10-3\mu )^{2}-64\leq 0\Rightarrow |10-3\mu |\leq 8\Rightarrow -8\leq 10-3\mu \leq 8\Rightarrow -\frac{2}{3}\leq \mu \leq 6 (4)

Με συναλήθευση των (2), (4) προκύπτει ότι \mu \in [-\frac{2}{3},6]

Η λύση μου δεν έχει καμία σχέση με αυτή του Γιώργου :oops: Κάνω λάθος;;;
Δύο πραγματάκια:
1. Αλγεβρικό λάθος υπάρχει στη λύση της (3), αφού είναι \displaystyle{\frac{2}{3}} και όχι \displaystyle{-\frac{2}{3}}.
2. Τα μ που βρίσκεις δίνουν φράγματα για τη συνάρτηση f και όχι ακρότατα


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στο σύνολο τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Δευ Δεκ 12, 2011 12:11 am

pito έγραψε:Πρέπει -1\leq f(x)\leq \frac{5}{3}... \mu \in [-\frac{-2}{3},6]
Για αυτές τις τιμές του μ, όντως ισχύει ότι -1\leq f(x)\leq \frac{5}{3}, αυτό όμως δεν σημαίνει ότι η \; f \; παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος αυτού. Π.χ. για \mu=2 προκύπτει ότι f(x)=1 \;, η οποία προφανώς δεν έχει ως σύνολο τιμών το ζητούμενο. Η σωστή απάντηση είναι \mu=6 και μπορεί να βρεθεί και με την χρήση παραγώγου, μονοτονίας κτλ


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Άσκηση στο σύνολο τιμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Δεκ 12, 2011 12:11 am

Λευτέρη σε ευχαριστώ πολύ, δηλαδή δεν σώνεται η λύση μου; Πρέπει να δείξω προφανώς ότι υπάρχουν x_{1},x_{2}\in R με f(x_{1})=-1, f(x_{2})=\frac{5}{3}, οπότε αναγόμαστε στη λύση του Γιώργου;;;


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στο σύνολο τιμών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Δεκ 12, 2011 12:22 am

pito έγραψε:Λευτέρη σε ευχαριστώ πολύ, δηλαδή δεν σώνεται η λύση μου; Πρέπει να δείξω προφανώς ότι υπάρχουν x_{1},x_{2}\in R με f(x_{1})=-1, f(x_{2})=\frac{5}{3}, οπότε αναγόμαστε στη λύση του Γιώργου;;;
Νομίζω σώζεται αν απαιτήσεις και στις δύο δευτεροβάθμιες διακρίνουσα 0, αφού μόνο τότε έχεις ακρότατα και όχι φράγματα.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης