Αγνώστου Ταυτότητας

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Αγνώστου Ταυτότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Τετ Δεκ 14, 2011 5:54 pm

Μια άσκηση που μου έδωσε μια συμμαθήτριά μου σήμερα σχολείο.
Την βρήκε, μου είπε, κάπου στο διαδίκτυο.
Βρήκα μια λύση αλλά μου φαίνεται κάπως σύνθετη. Περιμένω τις σκέψεις σας.

Έστω a,b,c \in \mathbb{R} τέτοια ώστε ac-bc+c^2<0, με a\neq 0.
Να δειχθεί ότι ισχύει b^2>4ac.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
G.Bas
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τετ Οκτ 13, 2010 9:27 pm
Τοποθεσία: Karditsa - Ioannina
Επικοινωνία:

Re: Αγνώστου Ταυτότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Bas » Τετ Δεκ 14, 2011 5:58 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Μια άσκηση που μου έδωσε μια συμμαθήτριά μου σήμερα σχολείο.
Την βρήκε, μου είπε, κάπου στο διαδίκτυο.
Βρήκα μια λύση αλλά μου φαίνεται κάπως σύνθετη. Περιμένω τις σκέψεις σας.

Έστω a,b,c \in \mathbb{R} τέτοια ώστε ac-bc+c^2<0, με a\neq 0.
Να δειχθεί ότι ισχύει b^2>4ac.

Είναι \displaystyle{ac-bc+c^2<0}

ή

\displaystyle{4ac<4bc-4c^2}

Άρα, αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle{4bc-4c^2<b^2}

ή

\displaystyle{(2c-b)^2>0} όπου ισχύει.


Let Solutions Say Your Method!

George Basdekis

Cauchy-Schwarz is the best tool!
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αγνώστου Ταυτότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Τετ Δεκ 14, 2011 6:03 pm

Γιώργο την διέλυσες!!!
Η σκέψη μου τελικά δεν είναι "κάπως σύνθετη", αλλά υπερβολικά σύνθετη.
Θα την αφήσω για λίγο μήπως υπάρξουν κι άλλες σκέψεις και θα την ανεβάσω.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Αγνώστου Ταυτότητας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Δεκ 14, 2011 6:35 pm

Αντώνη, κάτι τέτοιο έκανες λογικά:

Έστω f(x)=ax^2+bx+c με f(0)f(-1)<0. Άρα αφού το τριώνυμο παίρνει αρνητικές και θετικές τιμές έχει δύο άνισες ρίζες...


Θανάσης Κοντογεώργης
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αγνώστου Ταυτότητας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Τετ Δεκ 14, 2011 6:48 pm

socrates έγραψε:Αντώνη, κάτι τέτοιο έκανες λογικά:

Έστω f(x)=ax^2+bx+c με f(0)f(-1)<0. Άρα αφού το τριώνυμο παίρνει αρνητικές και θετικές τιμές έχει δύο άνισες ρίζες...
Θανάση, ναι, έτσι κινήθηκα.

Απλώς δικαιολόγησα -το διαισθητικά- προφανές κοκκινισμένο.
Σε γενικές γραμμές έκανα το εξής:
Αν ac<0 η ζητούμενη προφανώς ισχύει. Έτσι μένει η περίπτωση να είναι ομόσημα τα a,c. Διακρίνω για c>0 και c<0 και παίρνω όριο, σε κάθε περίπτωση, στο +\infty εξασφαλίζοντας άλλη μια ρίζα από Bolzano.
Έτσι το τριώνυμο έχει δυο ρίζες διακεκριμένες......


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Αγνώστου Ταυτότητας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Δεκ 15, 2011 7:51 am

G.Bas έγραψε:
Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Μια άσκηση που μου έδωσε μια συμμαθήτριά μου σήμερα σχολείο.
Την βρήκε, μου είπε, κάπου στο διαδίκτυο.
Βρήκα μια λύση αλλά μου φαίνεται κάπως σύνθετη. Περιμένω τις σκέψεις σας.

Έστω a,b,c \in \mathbb{R} τέτοια ώστε ac-bc+c^2<0, με a\neq 0.
Να δειχθεί ότι ισχύει b^2>4ac.

Άρα, αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle{4bc-4c^2<b^2}

ή

\displaystyle{(2c-b)^2>0} όπου ισχύει.


Μια μικρή διόρθωση: Πρέπει να μπει ανισοϊσότητα αντί γνήσια ανισότητα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης