Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Δεκ 15, 2011 9:54 pm

Το γενικό μέρος των συναρτήσεων είναι σχετικά ένα μικρό κεφάλαιο για να διεκδικεί ένα ολόκληρο θέμα στις εξετάσεις, αν και εδώ που τα λέμε, οι μιγαδικοί που έχουν σαφώς λιγότερες έννοιες, παίρνουν σχεδόν κάθε χρόνο ένα θέμα (και κάτι από τη θεωρία). Αλλά και έτσι να είναι, το γενικό μέρος χαρίζει στους μαθητές σημαντικά εργαλεία, πολύ χρήσιμα σε όλο το φάσμα της ανάλυσης. Με αφορμή λοιπόν μια άσκηση από εθνική ολυμπιάδα, συνέθεσα το παρακάτω θέμα, που δείχνει να καλύπτει και με το παραπάνω μερικά στάρνταρντ ερωτήματα στην αντίστοιχη ύλη.
Σε απαιτητικούς μαθητές σκέφτομαι να την κάνω κάθε χρόνο, γιατι τρέμω στην ιδέα ότι θα τεθεί σοβαρό ερώτημα στις εξετάσεις και θα χαθεί από έλλειψη σωστής προετοιμασίας!
Να προσθέσω ότι δεν αποκλείεται να την έχω ξαναβάλει στο παρελθόν, μια και μερικές φορές βρίσκω την ίδια άσκηση σε διαφορετικές πηγές και την προσαρμόζω στα δικά μας μέτρα, χωρίς να θυμάμαι αν το έχω ξανακάνει!
Από ένα σημείο και μετά όλες οι ασκήσεις μοιάζουν - είναι και αυτό που με παιδεύει!!!

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο \mathbb R και την ιδιότητα:

f(f^2(x)+f(y))=xf(x) + y , \forall x,y \in \mathbb R.

Να αποδείξετε ότι:

α) Η συνάρτηση f είναι 1-1.

β) Η f έχει σύνολο τιμών το \mathbb R

γ) f(0)=0

δ) Η f αντιστρέφεται και f^{-1}(x)=f(x),\forall x \in \mathbb R.

ε) f^2(x)=x^2 ,\forall x \in \mathbb R

στ) f(x)=x  , \forall x \in \mathbb R ή f(x)=-x  , \forall x \in \mathbb R


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Πέμ Δεκ 15, 2011 11:34 pm

Μία γρήγορη απάντηση για το στ)
Αφού f^2(x)=x^2 για κάθε x\in R \Leftrightarrow \left|f^2(x) \right|=\left|x^2 \right| για κάθε x\in R
\Leftrightarrow \left|f(x) \right|^2=\left|x \right|^2 για κάθε x\in R
\Leftrightarrow \left|f(x) \right|=\left|x \right| για κάθε x\in R
\Leftrightarrow f(x) = x για κάθε x\in R ή f(x) = - x για κάθε x\in R

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Δεκ 16, 2011 12:56 am

...Καλησπέρα :logo: με μία προσπάθεια στην εμπνευση του Μπάμπη στο (α)...

α) Ισχύει f({{f}^{2}}(x)+f(y))=xf(x)+y,\,\,\,\,\,x,y\in R (1) και για x=y ότι f({{f}^{2}}(x)+f(x))=xf(x)+x,\,\,\,\,\,x\in R(2)

οπότε για {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R όταν ισχύει f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) τότε και {{f}^{2}}({{x}_{1}})={{f}^{2}}({{x}_{2}}) άρα και {{f}^{2}}({{x}_{1}})+f({{x}_{1}})={{f}^{2}}({{x}_{2}})+f({{x}_{2}}) οπότε

f({{f}^{2}}({{x}_{1}})+f({{x}_{1}}))=f({{f}^{2}}({{x}_{2}})+f({{x}_{2}})) έτσι λόγω (2) θα ισχύει

{{x}_{1}}f({{x}_{1}})+{{x}_{1}}={{x}_{2}}f({{x}_{2}})+{{x}_{2}}(3)

Επίσης λόγω (1) θα ισχύει f({{f}^{2}}({{x}_{1}})+f({{x}_{2}}))={{x}_{1}}f({{x}_{1}})+{{x}_{2}} και f({{f}^{2}}({{x}_{2}})+f({{x}_{1}}))={{x}_{2}}f({{x}_{2}})+{{x}_{1}}

οπότε λόγω του f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) θα ισχύει και {{x}_{1}}f({{x}_{1}})+{{x}_{2}}={{x}_{2}}f({{x}_{2}})+{{x}_{1}}(4)

Από (3)-(4) προκύπτει ότι {{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}} άρα η fείναι 1-1

...συνεχίζεται η προσπάθεια για τα υπόλοιπα...

γ) Σύμφωνα με το (β) θα υπάρχει {{x}_{0}}\in R και μοναδικό ώστε f({{x}_{0}})=-1 οπότε από (2) θα ισχύει

f({{f}^{2}}({{x}_{0}})+f({{x}_{0}}))={{x}_{0}}f({{x}_{0}})+{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(1-1)=-{{x}_{0}}+{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(0)=0

...και συνεχιζουμε

δ) Για x=0από (1) ισχύει ότι f({{f}^{2}}(0)+f(y))=0f(0)+y\Leftrightarrow f(f(y))=y,\,\,\,y\in R ή

f(f(x))=x,\,\,x\in R οπότε για x το {{f}^{-1}}(x),\,\,\,x\in R λόγω του (β) θα ισχύει

f(f(({{f}^{-1}}(x)))={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(x)={{f}^{-1}}(x),\,\,x\in R

...και συνεχίζουμε..

ε) Στην f({{f}^{2}}(x)+f(y))=xf(x)+y,\,\,\,\,\,x,y\in R για x το f(x) και y=0 θα ισχύει

f({{f}^{2}}(f(x)))=f(x)f(f(x)) και λόγω του f(f(x))=x,\,\,x\in R θα ισχύει

f({{x}^{2}})=xf(x) και επειδή για y=0 ισχύει f({{f}^{2}}(x))=xf(x) θα έχουμε τελικά ότι

f({{f}^{2}}(x))=f({{x}^{2}})\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)={{x}^{2}} λόγω του (α)

...... :sleeping:

Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
air
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 20, 2010 4:28 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από air » Παρ Δεκ 16, 2011 2:37 am

Για το β)

Έστω y\in\mathbb R τυχαίος, τότε για x:=f^2(0)+f(y) \in \mathbb R ισχύει ότι f(x)=y.

Και αφού y\in\mathbb R τυχαίος έπεται ότι f(\mathbb R)=\mathbb R.


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Παρ Δεκ 16, 2011 2:48 pm

στ) (\forall x\in\mathbb{R}) [f^2(x)=x^2] \iff

(\forall x\in\mathbb{R}) [f(x)=x ή f(x)=-x]

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν a , b\in\mathbb{R^*} με f(a)=a και f(b)=-b .

Από τη δοθείσα σχέση, για x=a , y=b έχουμε:

f(f^2(a)+f(b)) = af(a) + b \Rightarrow f(a^2-b)=a^2+b \Rightarrow

a^2-b = a^2+b ή -a^2+b = a^2+b \Rightarrow

b = 0 ή a = 0 , άτοπο.

Επομένως, f(x)=x , \forall x\in\mathbb{R} ή f(x)=-x , \forall x\in\mathbb{R} .


Στράτης Αντωνέας
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Δεκ 16, 2011 8:25 pm

Στράτη :clap2:
εγώ βιάστηκα :wallbash: ως συνήθως και δεν έλεγξα το πρόσημο της \displaystyle{f}.

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης