όριο και συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

όριο και συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Δεκ 18, 2011 7:21 pm

Μια συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{(2,3)} και \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ +  } \frac{{f(x) + 1}}{{2 - x}} = 4 
}

α) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ +  } \frac{{x - 2}}{{\sqrt {f(x) + 5x}  - 3}} 
}

β) Αν \displaystyle{ 
x^2  - 5x + 6 < (x - 3) \cdot f(x) < 4(\sqrt {x + 1}  - 2) 
} για \displaystyle{x \in (2,3)},
να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{ 
f(x) = 0 
} έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα \displaystyle{(2,3)}


Καρδαμίτσης Σπύρος
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: οριο και συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:01 pm

...Kκαλησπερίζω με μιά ιδέα στο θέμα του Σπύρου
α) Για x\ne 2 είναι f(x)+1=\frac{f(x)+1}{2-x}(2-x) οπότε \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(f(x)+1)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+1}{2-x}\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(2-x)=4\cdot 0=0 άρα \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-1

Τώρα το ζητούμενο όριο είναι μορφής \frac{0}{0}και έτσι αν g(x)=\frac{x-2}{\sqrt{f(x)+5x}-3},\,\,x\ne 2 γίνεται

g(x)=\frac{(x-2)(\sqrt{f(x)+5x}+3)}{f(x)+5x-9}=\frac{(x-2)(\sqrt{f(x)+5x}+3)}{f(x)+1+5x-10}=

=\frac{\sqrt{f(x)+5x}+3}{\frac{f(x)+1}{x-2}+\frac{5(x-2)}{x-2}}=\frac{\sqrt{f(x)+5x}+3}{-\frac{f(x)+1}{2-x}+5} από όπου έχουμε \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{f(x)+5x}+3}{-\frac{f(x)+1}{2-x}+5}=\frac{\sqrt{9}+3}{-4+5}=6

β) Από {{x}^{2}}-5x-6<(x-3)f(x)<4(\sqrt{x+1}-2) έχουμε ισοδύναμα για

x<3 ότι \frac{{{x}^{2}}-5x-6}{x-3}>f(x)>\frac{4(\sqrt{x+1}-2)}{x-3}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{(x-3)(x-2)}{x-3}>f(x)>\frac{4(x-3)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} ή

x-2>f(x)>\frac{4}{\sqrt{x+1}+2} και επειδή \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x-2)=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{\sqrt{x+1}+2}=1 από κριτήριο παρεμβολής είναι \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1

Τώρα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση h(x)=-1,\,\,\,\,x=2 , h(x)=1,\,\,\,\,x=3 και h(x)=f(x),\,\,\,\,x\in (2,\,3)

αυτή είναι συνεχής στο [2,\,\,3] με h(2)h(3)=-1<0 και σύμφωνα με το Θεώρημα του BOLZANO η h(x)=f(x)=0

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (2,\,3)

...δικλαδη στο LATEX...κάποιος απο την παρέα να δώσει τα φώτα του...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: όριο και συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:05 pm


\left\{\begin{matrix}
a & x<2\\
b & x\ge2
\end{matrix}\right}


\left\{\begin{matrix} 
a & x<2\\  
b & x\ge2 
\end{matrix}\right}


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: όριο και συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:12 pm

parmenides51 έγραψε:
\left\{\begin{matrix}
a & x<2\\
b & x\ge2
\end{matrix}\right}


\left\{\begin{matrix} 
a & x<2\\  
b & x\ge2 
\end{matrix}\right}
...ευχαριστώ τα μέιγιστα parmenides51
...Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: όριο και συνέχεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:15 pm

Ή, ίσως απλούστερα, \displaystyle{f(x)=\begin{cases}1 &, x>0 \\ 0 &, x=0 \\ -1 &, x<0\end{cases}}

Κώδικας: Επιλογή όλων

f(x)=\begin{cases}1 &, x>0 \\ 0 &, x=0 \\ -1 &, x<0\end{cases}


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: όριο και συνέχεια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Δεκ 18, 2011 10:03 pm

...η πρώτη πολλαπλού τύπου!! με την συνάρτηση που ορίσαμε στο θέμα του Σπύρου... τα κατάφερα...

h(x)=\left\{ \begin{matrix} -1,&\,\,\,\,\,x=2 \\  f(x),&\,\,2<x<3 \\ \,\,1,& \,\,\,\,\,x=3 \\ \end{matrix} \right.

ευχαριστώ Τάσο...

Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης