Είναι τεκμηριωμένο;;;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Θωμάς Ποδηματάς
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας

Είναι τεκμηριωμένο;;;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θωμάς Ποδηματάς » Πέμ Δεκ 29, 2011 2:34 pm

Καλημέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στην εκλεκτή παρέα του :santalogo:

Με αφορμή μία άσκηση που βρήκα κάπου στα χαρτιά μου, μου γεννήθηκε η παρακάτω απορία :

Έχουμε μία συνεχή συνάρτηση f με \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}.
Όπως είναι φανερό, υπάρχει a>0 τέτοιος ώστε : \forall x>a να ισχύει ότι f(x)>0. Αν δε υποθέσουμε ότι f(a)=A, τότε λόγω συνέχειας, η f θα παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος \left(A,+\infty\right).

Η ερώτηση είναι αν αυτό μπορούμε να το ισχυριστούμε απ' ευθείας ή πρέπει να το αποδείξουμε με κάποιο τρόπο.

Η δική μου σκέψη, είναι πως αν η τιμή y_0\in(A,+\infty) δεν είναι τιμή της συνάρτησης, τότε δεν θα μπορούσε η συνάρτηση να είναι συνεχής... αλλά και αυτό μου φαίνεται ότι "μπάζει" (σορρυ για την έκφραση).

Περιμένω τις απόψεις της παρέας...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ,
ΘΩΜΑΣ


Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Είναι τεκμηριωμένο;;;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Δεκ 29, 2011 2:59 pm

Για το αν απαιτείται η απόδειξη ή όχι δεν γνωρίζω. Για την απόδειξη μπορείς να χρησιμοποιήσεις το παρακάτω:

Επειδή η συνάρτηση τείνει στο άπειρο, υπάρχει y > y_0 το οποίο ανήκει στο πεδίο τιμών. Από θεώρημα ενδιάμεσης τιμής στο [A,y] παίρνουμε ότι και το y_0 ανήκει στο πεδίο τιμών.

[Γενική ισχύει ότι το πεδίο τιμών κάθε συνεχούς πραγματικής συνάρτησης είναι διάστημα και μπορεί να δοθεί παρόμοια απόδειξη. Δεν γνωρίζω όμως αν κάτι τέτοιο είναι εντός ύλης.]


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11542
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι τεκμηριωμένο;;;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 29, 2011 3:04 pm

H απόδειξη του βήματος που λείπει είναι η εξης: Για y_o >A ξέρουμε (από την υπόθεση ότι \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)= \infty) ότι υπάρχει x_1>a με f(x_1) > y_o. Τότε από Bolzano στο [a, x_1] , υπάρχει x_2 \in [a, x_1] με f(x_2)=y_o.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Με πρόλαβε ο Δημήτρης. Τα αφήνω για τον κόπο.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Είναι τεκμηριωμένο;;;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Δεκ 29, 2011 6:57 pm

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:...
Έχουμε μία συνεχή συνάρτηση f με \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}.
Όπως είναι φανερό, υπάρχει a>0 τέτοιος ώστε : \forall x>a να ισχύει ότι f(x)>0. Αν δε υποθέσουμε ότι f(a)=A, τότε λόγω συνέχειας, η f θα παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος \left(A,+\infty\right).

Η ερώτηση είναι αν αυτό μπορούμε να το ισχυριστούμε απ' ευθείας ή πρέπει να το αποδείξουμε με κάποιο τρόπο.
...
Θωμά Χρόνια Πολλά και από μένα. Η γνώμη μου είναι πως χρειάζεται απόδειξη. Ο κυριότερος λόγος είναι ότι το εξ΄ίσου "προφανές" θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής στο σχολικό αποδεικνύεται.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Θωμάς Ποδηματάς
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας

Re: Είναι τεκμηριωμένο;;;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θωμάς Ποδηματάς » Πέμ Δεκ 29, 2011 10:56 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας...

Καλή χρονιά σε όλους...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ !

ΘΩΜΑΣ


Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης