Ένα Διαγώνισμα του 2011 στα 'Ορια-Συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Ένα Διαγώνισμα του 2011 στα 'Ορια-Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Δεκ 29, 2011 7:14 pm

Παραθέτω ένα διαγώνισμα που έγραψαν οι μαθητές μου δύο τμημάτων διάρκειας 45 λεπτών στις 20 Δεκεμβρίου. Ήταν επαναληπτικό σε όλο το κεφάλαιο, και οι μαθητές ετοιμάζονταν ενόσω διδάσκονταν παραγώγους (το τελευταίο μάθημα ήταν στο ρυθμό μεταβολής). Τα πρώτα ερωτήματα προέρχονται, κατά πάγια τακτική μου από ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Ο βασικός στόχος είναι να κατοχυρωθούν βασικές γνώσεις. Το θέμα 2)β) έχει κάποια σχέση και με την συζήτηση στο viewtopic.php?f=52&t=21712. Αρκετοί μαθητές έδωσαν διαισθητική απάντηση.
Θέμα 1
Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle{f(x) = 1 + \frac{1}{x} και g(x) = \frac{x}{{1 - x}}}
1) Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g,\,\,f - g,\,\,fg και \frac{f}{g}.
2) α) Να βρεθεί ο \alpha ώστε η συνάρτηση \phi :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} με
\displaystyle{\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
    {g\left( x \right)}&{x < \alpha }\\ 
    {f\left( x \right)}&{x \ge \alpha } 
    \end{array}} \right.}
να είναι συνεχής στο \mathbb{R}.
β) Να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα f=\frac{1}{g^{-1}}.
Θέμα 2
Δίνεται η συνάρτηση
\displaystyle{f(x) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2}
1) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x.
2) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία \varepsilon του επιπέδου έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την γραφική παράσταση \mathcal{C}_{f} της f.

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Ένα Διαγώνισμα του 2011 στα 'Ορια-Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Πέμ Δεκ 29, 2011 9:56 pm

Επειδή είναι νωρίς ακόμη, βάζω μια αντιμετώπιση σε απόκρυψη.
Θέμα 1
2) α) Η f ορίζεται στο \mathbb R-\{0\}, ενώ η g στο \mathbb R -\{1\}.
Επειδή θέλουμε η \phi να είναι συνεχής στο \mathbb R θα πρέπει τότε αναγκαστικά (λόγω του πεδίου ορισμού της g) \alpha \leq 1. Αν \alpha =1 τότε επειδή το αριστερό όριο της \phi θα είναι +\infty η \phi θα είναι τελικά ασυνεχής. Άρα a<1.
Με το ίδιο σκεπτικό, λόγω του πεδίου ορισμού της f, καταλήγουμε ότι θα πρέπει a>0.

Με αυτό το δεδομένο έχουμε ότι (αφού οι f,g θα είναι συνεχείς στα διαστήματα που "χρησιμοποιούνται" από τη \phi) το μόνο σημείο στο οποίο η \phi μπορεί να είναι ασυνεχής είναι το a με 0<a<1.
Ζητάμε τελικά \displaystyle{\lim_{x \rightarrow a ^{-}} \phi (x)= \lim_{x \rightarrow a ^{+}} \phi (x) \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a ^{-}} g(x)=\lim_{x \rightarrow a ^{+}}f(x) \Leftrightarrow}
\Leftrightarrow 1+\frac{1}{a}=\frac{a}{1-a} \Leftrightarrow 2a^{2}=1 και επειδή 0<a<1 παίρνουμε τελικά ότι θα πρέπει a=\sqrt{2}.
β) Εύκολα βλέπουμε f(-1)=0 ενώ \frac{1}{g^{-1}(1)} \neq 0 οπότε η ισότητα δεν ισχύει.

Θέμα 2
2) Αν η ευθεία είναι κατακόρυφη, δηλαδή της μορφής x=a τότε προφανώς έχει κοινό σημείο με τη συνάρτηση, αφού το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το \mathbb R. Αν τώρα δεν είναι κατακόρυφη, τότε θα είναι της μορφής y_{\epsilon}=lx+b με l, b \in \mathbb R.
Ψάχνουμε σημείο τέτοιο ώστε y_{\epsilon}=f(x) \Leftrightarrow x^{3}+2x^{2}-x-2=lx+b \Leftrightarrow g(x)=0 όπου
g(x)=x^{3}+2x^{2}-(1+l)x-(2+b).
Έχουμε, όμως ότι η g είναι συνεχής (ως πολυωνυμική) στο \mathbb R, με \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} g(x)= -\infty} και \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x)= +\infty}.
Συνεπώς θα υπάρχει σίγουρα μια θετική τιμή της f κοντά στο +\infty και μια αρνητική κοντά στο -\infty, οι οποίες προφανώς θα είναι διαφορετικές και από Θεώρημα Bolzano καταλήγουμε ότι υπάρχει μια ρίζα της g μεταξύ αυτών των δύο τιμών, γεγονός που ισοδυναμεί όπως είδαμε με την τομή της C_{f} με την (\epsilon) σε ένα τουλάχιστον σημείο.
Επιπλέον ερώτηση για το 2)β): Θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο και για οποιαδήποτε παραβολή του επιπέδου;


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
Άβαταρ μέλους
wavelet
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 8:29 am
Επικοινωνία:

Re: Ένα Διαγώνισμα του 2011 στα 'Ορια-Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από wavelet » Παρ Δεκ 30, 2011 12:23 pm

Πολύ καλό ! Μου άρεσε πολύ το 2β !


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2653
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ένα Διαγώνισμα του 2011 στα 'Ορια-Συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Ιαν 02, 2012 7:19 pm

Pla.pa.s έγραψε:...
Επιπλέον ερώτηση για το 2)β): Θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο και για οποιαδήποτε παραβολή του επιπέδου;

'Οχι για οποιαδήποτε. Π.χ. η παραβολή y^2=x-2 δεν τέμνει την \mathcal{C}_f.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης