Ύπαρξη 7,24

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Ύπαρξη 7,24

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Αύγ 06, 2009 8:59 pm

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f: [0,1]\longrightarrow [0,1],g: [0,1]\longrightarrow [0,1] τέτοιες ώστε f(g(x))=g(f(x)) για κάθε x\in\;[0,1] και f γνησίως φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα c\in\;(0,1), τέτοιο ώστε f(c)=g(c)=c


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη 7,24

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Αύγ 07, 2009 7:51 pm

Πάμε για μια απάντηση πριν τις ολιγοήμερες διακοπές...
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-x, x στο [0,1].
H h είναι συνεχής στο [0,1], ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων, με :
h(0)=f(0)>=0 και h(1)=f(1)-1<=0.
Aρα : h(0)h(1)<=0.
Θα αποκλείσουμε την περίπτωση : h(0)h(1)=0.
Αν h(0)=0 => f(0)=0.
Tότε 0<1 => f(0)> f(1) => 0>f(1). Άτοπο.

Αν h(1)=0 => f(1)=1 .
Tότε : 0<1 => f(0) > f(1) => f(0) >1 .Άτοπο.

Αρα μας μένει: h(0)h(1)<0.
Εδω ενεργοποιούμε το Θ.Bolzano, αρα υπάρχει τουλάχιστον ένας c στο (0,1) ,ώστε :
h(c)=0 => f(c)=c (1).
To c αυτό είναι μοναδικό, γιατί η h είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση ( άθροισμα της f και της -χ ).
Αντικαθιστώντας στην αρχική μας υπόθεση, έχουμε:
f(g(c))=g(f(c)) => f(g(c))=g(c) (2) [απο την (1) ].

Αν τώρα υποθέσουμε πως :
g(c)>c => f(g(c))<f(c) => g(c) < c ( λόγω των (1) και (2) ). Ατοπο.

Αν g(c)<c => f(g(c))>f(c) => g(c)> c ( λόγω των (1) και (2) ). Άτοπο.

Μας μένει τελικά πως g(c)=c. Τελικά αποδείξαμε πως f(c)=g(c)=c, c στο (0,1).

Υ.Γ 1
ΚΑΛΕΣ ΔΙΑΚΟΠΕΣ

Υ.Γ 2
Μιας και το γνωρίζω απο πρώτο...χέρι, χτες βγήκε η εγκύκλιος διορισμού και για τους μαθηματικούς.
ΚΑΛΕΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ !!

Υ.Γ 3
Θα μπαίνω και απο Κέρκυρα. Οι καλές συνήθειες, δεν ...κόβονται εύκολα... Γειά σας! :)


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη 7,24

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Αύγ 07, 2009 7:56 pm

Όλα ωραία Χρήστο

Ένα σχόλιο
Από την σχέση (2) του Χρήστου, βγάζουμε συμπέρασμα ότι h(g(c))=0 ισοδύναμα g(c)=c

Καλά να περνάς στην Κέρκυρα ;)
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Κυρ Αύγ 09, 2009 12:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ύπαρξη 7,24

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Αύγ 07, 2009 8:51 pm

mathxl έγραψε:Όλα ωραία Χρήστο

Δύο σημειώσεις
Από την μονοτονία της f μπορούμε να βρούμε τα f(0)=1,f(1)=0
Από την (2) βγάζουμε συμπέρασμα ότι h(g(c))=0 ισοδύναμα g(c)=c

Καλά να περνάς στην Κέρκυρα ;)
Βασίλη, για να προκύψουν f(0)=1,f(1)=0, πρέπει f([0, 1])=[0, 1]


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη 7,24

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Αύγ 07, 2009 10:43 pm

Κώστα, δεν δίνεται το σύνολο τιμών στην υπόθεση;;;

Για να γίνω πιο αναλυτικός, έχω υπόψη την παρακάτω σύμβαση

Αν δούμε f:A->R τότε δεν σημαίνει απαραίτητα, ότι σύνολο τιμών είναι το R αλλά κάποιο υποσύνολο του
Αν δούμε f :Α->[0,1] τότε το [0,1] είναι το σύνολο τιμών (δηλαδή οτιδήποτε διαφορετικό του R ), ως συνέπεια της μη χρησιμοποίησης συνόλου αφίξεως στο σχολείο.
Δηλαδή βλέπω διαφορά στο f :Α->[0,1] από το 0=<f(x)=<1 στην υπόθεση μιας άσκησης. Κάνω λάθος;
To ii viewtopic.php?f=56&t=818 το έχω λύσει λανθασμένα;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ύπαρξη 7,24

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Αύγ 09, 2009 12:06 pm

Βασίλη, καλημέρα!
Εύχομαι να περνάς καλά.
Η συνάρτηση f θα έπρεπε να είναι "επί".
Τώρα, με τον ορισμό της συνάρτησης f: Α->Β, των σχολικών βιβλίων, το Β δεν είναι και σύνολο τιμών.
Για το viewtopic που γράφεις, δεν το έχω δει προς το παρόν. Θα το δω και θα σου απαντήσω.
Να είσαι πάντα καλά!


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη 7,24

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Αύγ 09, 2009 12:44 pm

rek2 έγραψε:Βασίλη, καλημέρα!
Εύχομαι να περνάς καλά.
Η συνάρτηση f θα έπρεπε να είναι "επί".
!
Αυτό το ήξερα!
rek2 έγραψε:Βασίλη, καλημέρα!

Τώρα, με τον ορισμό της συνάρτησης f: Α->Β, των σχολικών βιβλίων, το Β δεν είναι και σύνολο τιμών.
Αυτό με ενδιέφερε και όπως είπα παραπάνω θεωρούσα ως σύμβαση ότι αν το Β είναι το R τότε δεν πρόκειται απαραίτητα για σύνολο τιμών ενώ α είναι κάποιο άλλο σύνολο,πχ [0,1] τότε είναι ...
Βλέπω όμως, ότι έχεις δίκιο δεν μπορούμε να υποθέτουμε την μία έτσι και την άλλη αλλιώς. Σε αυτό το επικίνδυνο λάθος έχω οδηγηθεί από βοηθήματα,κακώς βέβαια!
Σε ευχαριστώ, νομίζω ότι από αυτό το ποστ κέρδισα :)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες