Συναρτήσεις 15

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις 15

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τρί Μαρ 27, 2012 10:14 am

Αν οι f και g είναι συνεχείς στο διάστημα [0,1] με fog=gof,

η f είναι φθίνουσα, 0\leq f(x)\leq 1 και 0\leq g(x)\leq 1, για κάθε x\in [0,1],

να αποδείξετε ότι υπάρχει x_{o}\in [0,1] τέτοιο, ώστε f(x_{o})=x_{o} και g(x_{o})=x_{o}.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 15

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Μαρ 27, 2012 11:09 am

Έστω h(x)=f(x)-x,x\in[0,1].

H συνάρτηση h είναι συνεχής στο [0,1] ως διαφορά των συνεχών f (υπόθεση) και x (πολυωνυμική),
h(0)=f(0) \geq 0 και h(1)=f(1)-1 \leq 0, οπότε h(0)h(1) \leq0.

* Αν h(0)h(1)=0, τότε τα 0 ή 1 είναι ρίζες της h(x)=0 \Leftrightarrow f(x)=x.
** Αν h(0)h(1)<0, τότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει x_0 \in (0,1) έτσι ώστε h(x_0)=0 \Leftrightarrow f(x_0)=x_0.

Συνεπώς:
υπάρχει x_0 \in [0,1] έτσι ώστε f(x_0)=x_0 (I).

Θέτουμε στην (fog)(x)=(gof)(x) όπου x το _0 και έχουμε:
(fog)(x_0)=(gof)(x_0), άρα f(g(x_0))=g(x_0) (II).

* Έστω ότι g(x_0)>x_0 (III).
Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1],
έχουμε ότι: f(g(x_0))<f(x_0)
και λόγω των (I), (II) βρίσκουμε:
g(x_0)<x_0, απορρίπτεται λόγω της (III).

* Έστω ότι g(x_0)<x_0 (IV).
Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1],
έχουμε ότι: f(g(x_0))>f(x_0)
και λόγω των (I), (II) βρίσκουμε:
g(x_0)>x_0, απορρίπτεται λόγω της (IV).

Επομένως ισχύει και g(x_0)=x_0.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Γιώργος Κ77
Δημοσιεύσεις: 434
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 9:13 pm
Τοποθεσία: Χρυσούπολη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 15

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κ77 » Τρί Μαρ 27, 2012 11:22 am

Καλημέρα Λευτέρη. Στη λύση που έδωσες χρησιμοποίησες ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και απέδειξες το ζητούμενο.

Το ίδιο ισχύει αν η f είναι φθίνουσα, σύμφωνα με τα δεδομένα.


Γιώργος Κ.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 15

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Μαρ 27, 2012 11:26 am

Γιώργο έχεις δίκιο.

Η δύναμη της συνήθειας :mrgreen:


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 15

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Μαρ 27, 2012 3:55 pm

η ίδια και μια παρόμοια


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 15

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιούλ 29, 2012 1:37 pm

Γιώργος Κ77 έγραψε:Καλημέρα Λευτέρη. Στη λύση που έδωσες χρησιμοποίησες ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και απέδειξες το ζητούμενο.

Το ίδιο ισχύει αν η f είναι φθίνουσα, σύμφωνα με τα δεδομένα.

Επαναφορά, λοιπόν!


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 15

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Νοέμ 12, 2013 2:17 pm

Γιώργος Κ77 έγραψε:Καλημέρα Λευτέρη. Στη λύση που έδωσες χρησιμοποίησες ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και απέδειξες το ζητούμενο.

Το ίδιο ισχύει αν η f είναι φθίνουσα, σύμφωνα με τα δεδομένα.

Ξεχάστηκε. Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτήσεις 15

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Νοέμ 12, 2013 2:21 pm

Γιώργος Κ77 έγραψε:Αν οι f και g είναι συνεχείς στο διάστημα [0,1] με fog=gof,

η f είναι φθίνουσα, 0\leq f(x)\leq 1 και 0\leq g(x)\leq 1, για κάθε x\in [0,1],

να αποδείξετε ότι υπάρχει x_{o}\in [0,1] τέτοιο, ώστε f(x_{o})=x_{o} και g(x_{o})=x_{o}.
Θανάση γειά!
Σχετικά πρόσφατα είχε γίνει κουβέντα ---->εδώ.


Χρήστος Κυριαζής
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις 15

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Νοέμ 12, 2013 3:49 pm

Θενκς Χρήστο!
Οπότε δε χρειαζόμαστε μονοτονία...

Για την περίπτωση της φθίνουσας, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η f(x)-x είναι γνήσια φθίνουσα κτλ...


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης