Υπάρχουν ;;;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Υπάρχουν ;;;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Αύγ 22, 2009 8:05 pm

Υπάρχουν συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} που να είναι 1-1 και να ικανοποιούν την ανίσωση:\displaystyle{f(x^2)-\big(f(x)\big)^2\geq \frac{1}{4}}


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 252
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: Υπάρχουν ;;;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Σάβ Αύγ 22, 2009 8:52 pm

η απάντηση είναι όχι , για να το αποδείξουμε θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο


Έστω λοιπόν \displaystyle{f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} 1-1 συνάρτηση ώστε \displaystyle{f(x^{2})-f^{2}(x) \geq \frac{1}{4}
για κάθε πραγματικό αριθμό x , τότε βαζωντας διαδοχικά τις τιμες 0 και 1 στην παραπάνω σχέση θα πάρουμε

\displaystyle{f^{2}(1)-f(1)+\frac{1}{4} \leq 0} και \displaystyle{f^{2}(0)-f(0)+\frac{1}{4} \leq 0} με πρόσθεση των 2 τελευταίων έχω

\displaystyle{(f(0)-\frac{1}{2})^{2}+(f(1)-\frac{1}{2})^{2} \leq 0} άρα \displaystyle{f(0)=f(1)=\frac{1}{2}} όμως η f από την υπόθεση ειναι 1-1 συνάρτηση άρα 1=0 ATOΠΟ


Γιάννης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης