Τις γν. αύξουσες

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τις γν. αύξουσες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιούλ 01, 2012 6:32 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις γν. αύξουσες συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f(1-x)=1-f(f(x)), } για κάθε x \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τις γν. αύξουσες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Ιούλ 01, 2012 7:35 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις γν. αύξουσες συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f(1-x)=1-f(f(x)), } (1) για κάθε x \in \mathbb{R}.
Αν στη θέση του \displaystyle{x} στην (1) βάλουμε το \displaystyle{1-x} έχουμε \displaystyle{f(x)=1-f(f(1-x)) \Rightarrow f(f(1-x))=1-f(x),\ \forall x \in \Bbb{R}} (2)

Από την (1) επίσης προκύπτει η

\displaystyle{f(f(1-x))=f(1-f(f(x)))=1-f(f(f(f(x)))),\ \forall x \in \Bbb{R}} (3)

Από (2) και (3) έχουμε \displaystyle{f(x)=f(f(f(f(x)))) \Rightarrow f(f(f(x)))=x,\ \forall x \in \Bbb{R}} (4)

Αν για κάποιο \displaystyle{x \in \Bbb{R}} είχαμε \displaystyle{f(x)>x}, τότε

\displaystyle{f(f(x))>f(x)>x \Rightarrow f(f(f(x)))>f(f(x))>f(x)>x \Rightarrow x>x}, άτοπο.

Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι για κάποιο \displaystyle{x \in \Bbb{R}} έχουμε \displaystyle{f(x)<x}.

Συνεπώς \displaystyle{f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}, που αληθεύει την αρχική.


Σπύρος Καπελλίδης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τις γν. αύξουσες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιούλ 08, 2012 7:38 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης