Βρείτε τη συνάρτηση...

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε τη συνάρτηση...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιούλ 03, 2012 3:18 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x^2+y^2+2012xy)=x^2+y^2+2012f(x)f(y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τη συνάρτηση...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Ιούλ 05, 2012 2:24 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε

f(x^2+y^2+2012xy)=x^2+y^2+2012f(x)f(y) ,~~(1), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
\displaystyle{x=y=0,~~(1)\Rightarrow f(0)=0~~\eta~~2012 f(0)=1}

\displaystyle{y=0,~~(1)\Rightarrow f(x^2)=x^2+2012f(x)f(0)~~(2)}

Αν f(0)=0,~~(2)\Rightarrow f(x)=x,x\in \Bbb R ικανοποιεί την αρχική

Αν 2012 f(0)=1,~~(2)\Rightarrow f(x^2)=x^2+f(x)~~(3)}

x=1,~~(3)\Rightarrow 1=0 άτοπο


Φωτεινή Καλδή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη συνάρτηση...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Σεπ 15, 2013 6:00 pm

Μία συμπλήρωση:


Αν f(0)=0 τότε f(x^2)=x^2 δηλαδή f(x)=x για κάθε x\geq 0.

Για x<0 παίρνουμε \displaystyle{y>0} αρκετά μεγάλο ώστε x^2+y^2+2012xy>0 και βρίσκουμε f(x)=x.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης