Βρείτε το f(-1)

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Βρείτε το f(-1)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιούλ 03, 2012 5:56 pm

Η πραγματική συνάρτηση, πραγματικής μεταβλητής είναι τέτοια ώστε o αριθμός \displaystyle{\frac{1}{2}} να ανήκει στο σύνολο τιμών της και για κάθε x,y\ne 0 να ισχύει

\displaystyle{f(x)-f(y)=f(x)f\left(\frac{1}{y}\right)-f(y)f\left(\frac{1}{x}\right).}

Να βρείτε το f(-1) και παράδειγμα μη σταθερής τέτοιας συνάρτησης.


Θανάσης Κοντογεώργης
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Βρείτε το f(-1)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Τετ Ιούλ 04, 2012 3:38 pm

\displaystyle{f(x)-f(y)=f(x)f\left(\frac{1}{y}\right)-f(y)f\left(\frac{1}{x}\right). \quad \boxed{1}}

Από την υπόθεση υπάρχει κάποιος \displaystyle{k\in D_f} ώστε \displaystyle{f(k)=\frac{1}{2}}
Για \displaystyle{y=\frac{1}{k},x=k} η \displaystyle{\boxed{1}} γίνεται:

\displaystyle{f(k)-f\left (\frac{1}{k} \right )=f(k)f(k)-f\left (\frac{1}{k} \right )f\left (\frac{1}{k} \right )}\Leftrightarrow
\displaystyle{f^2\left (\frac{1}{k}\right )-f\left (\frac{1}{k} \right )-\frac{1}{4}=0}\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{k}\right )=\frac{1}{2}

Για \displaystyle{x=k,y=-1} η \displaystyle{\boxed{1}} γίνεται:
\displaystyle{\frac{1}{2}-f(-1)=\frac{1}{2}f(-1)-f(-1)\frac{1}{2}}\Leftrightarrow f(-1)=\frac{1}{2}


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Βρείτε το f(-1)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιούλ 04, 2012 3:42 pm

Υπάρχει πραγματικός x_0 ώστε f(x_0)=\frac{1}{2}
Λέω πως x_0\ne 0 αλλιώς δε θα είχε νόημα η άσκηση...(γνώμη μου είναι πως έπρεπε να το λέει η εκφώνηση)
Θανάση;
Τότε αν θέσω: x\rightarrow x_{0}, y\rightarrow \frac{1}{x_{0}} λαμβάνω:
\displaystyle{ 
f(x_0 ) - f(\frac{1}{{x_0 }}) = f^2 \left( {x_0 } \right) - f^2 \left( {\frac{1}{{x_0 }}} \right) \Rightarrow 4f^2 \left( {\frac{1}{{x_0 }}} \right) - 4f(\frac{1}{{x_0 }}) + 1 = 0 \Rightarrow \left( {2f(\frac{1}{{x_0 }}) - 1} \right)^2  = 0 \Rightarrow f(\frac{1}{{x_0 }}) = \frac{1}{2} = f(x_0 ) 
}

Επιπλέον για x\rightarrow -1,y\rightarrow x_{0} προκύπτει:
\displaystyle{ 
f( - 1) - f(x_0 ) = f( - 1)f\left( {\frac{1}{{x_0 }}} \right) - f( - 1)f\left( {x_0 } \right) = 0 \Rightarrow f( - 1) = f(x_0 ) = \frac{1}{2} 
}
Μία τέτοια συνάρτηση θα μπορούσε να είναι η \displaystyle{ 
f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {\frac{1}{2},x \ne 0}  \\ 
   {2012,x = 0}  \\ 
\end{array}} \right. 
}


Χρήστος Κυριαζής
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το f(-1)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 04, 2012 5:17 pm

chris_gatos έγραψε:Υπάρχει πραγματικός x_0 ώστε f(x_0)=\frac{1}{2}
Λέω πως x_0\ne 0 αλλιώς δε θα είχε νόημα η άσκηση...(γνώμη μου είναι πως έπρεπε να το λέει η εκφώνηση)
Θανάση;
Χρήστο σωστά....

Άλλη μια συνάρτηση-λύση: \displaystyle{f(x)=\begin{cases} 0, \ x=0  \\  \ln |x| +\frac{1}{2}, \ x\ne 0 \end{cases}.}


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης