Με χ και y!

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Με χ και y!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 04, 2012 5:44 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε x^2f(y)+yf(x^2)=f(xy)+a, για κάθε x,y \in \mathbb{R}, όπου a παράμετρος.


Θανάσης Κοντογεώργης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Με χ και y!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Ιούλ 04, 2012 10:46 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε x^2f(y)+yf(x^2)=f(xy)+a, (1) για κάθε x,y \in \mathbb{R}, όπου a παράμετρος.
Η (1) για \displaystyle{x=0} δίνει \displaystyle{(y-1)f(0)=a,\ \forall y \in \Bbb{R} \Rightarrow f(0)=0,a=0}

Η (1) για \displaystyle{x=y=1} δίνει \displaystyle{f(1)=0}

Δηλαδή η (1) γράφεται \displaystyle{x^2f(y)+yf(x^2)=f(xy)} για \displaystyle{y=1} : \displaystyle{f(x^2)=f(x)}, άρα \displaystyle{x^2f(y)+yf(x)=f(xy)} και με εναλλαγή των μεταβλητών έχουμε

\displaystyle{y^2f(x)+xf(y)=f(xy)}, άρα \displaystyle{x^2f(y)+yf(x)=y^2f(x)+xf(y) \Rightarrow (x^2-x)f(y)=(y^2-y)f(x)} και για \displaystyle{x,y \neq 0,1} έχουμε:

\displaystyle{\frac {f(y)}{y^2-y}=\frac {f(x)}{x^2-x}}.

Συνεπώς \displaystyle{f(x)=c(x^2-x), x \neq 0,1}, η οποία για να επαληθεύει την αρχική πρέπει \displaystyle{c=0}.

Άρα η μοναδική λύση είναι η \displaystyle{f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}}


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης