Σύνολο τιμών

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 05, 2012 5:20 pm

Προσδιορίστε τον πραγματικό αριθμό l, ώστε η συνάρτηση με τύπο
\displaystale{f\left( x \right) = \frac{{x^2  - l}} 
{{x^2  - 4x + 1 - l}}
να έχει σύνολο τιμών το {\Cal R}}.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Παρ Ιούλ 06, 2012 10:29 am

Με πολλές επιφυλάξεις και επειδή από τα λάθη μας μαθαίνουμε , μια ιδέα:

Για να ορίζεται η f θα πρέπει να είναι x^{2}-4x+1-l\neq 0
άρα ή \Delta <0\Leftrightarrow l>-3 και A_{f}=R
ή l<-3 και A_{f}=R-\{2-\sqrt{3+l},2+\sqrt{3+l}\}
l=-3, A_{f}=R-\{2\}

Για f(x)=y είναι y=\frac{x^{2}-l}{x^{2}-4x+1-l}\Leftrightarrow (y-1)x^{2}-4xy+y-yl+l=0  (1)

Αν y=1, τότε προκύπτει x=\frac{1}{4}, δηλαδή f(\frac{1}{4})=1 και το 1 ανήκει στο ζητούμενο σύνολο τιμών.

Αν τώρα y\neq 1,θα πρέπει να υπάρχουν τιμές του x που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f ώστε να ισχύει η (1) άρα θα πρέπει για την (1) να είναι
\Delta \geq 0\Leftrightarrow (12+4l)y^{2}+(4-8l)y+4l\geq 0 (2)

Για να έχει η f σύνολο τιμών το R θα πρέπει η (2) να ισχύει για όλα τα πραγματικά y δηλαδή να ισχύει

12+4l>0\Leftrightarrow l>-3  (3) και
\Delta \leq 0\Leftrightarrow (4-8l)^{2}-16l(12+4l)\leq 0\Leftrightarrow ...l\geq\frac{1}{16} (4)

Με συναλήθευση των (3), (4) προκύπτει ότι πρέπει l\geq\frac{1}{16}

EDIΤ: Θα την ξανακοιτάξω έπειτα από προτροπή του κυρίου Λουρίδα.
τελευταία επεξεργασία από pito σε Παρ Ιούλ 06, 2012 12:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Παρ Ιούλ 06, 2012 12:03 pm

pito έγραψε:Με πολλές επιφυλάξεις και επειδή από τα λάθη μας μαθαίνουμε , μια ιδέα:
Για να ορίζεται η f θα πρέπει να είναι x^{2}-4x+1-l\neq 0
άρα ή \Delta <0\Leftrightarrow l>-3 και A_{f}=R
ή l\leq -3 και A_{f}=R-\{2-\sqrt{3+l},2+\sqrt{3+l}\}

Για f(x)=y είναι y=\frac{x^{2}-l}{x^{2}-4x+1-l}\Leftrightarrow (y-1)x^{2}-4xy+y-yl+l=0  (1)

Αν y=1, τότε προκύπτει x=\frac{1}{4}, δηλαδή f(\frac{1}{4})=1 και το 1 ανήκει στο ζητούμενο σύνολο τιμών.

Αν τώρα y\neq 1,θα πρέπει να υπάρχουν τιμές του x που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f ώστε να ισχύει η (1) άρα θα πρέπει για την (1) να είναι
\Delta \geq 0\Leftrightarrow (12+4l)y^{2}+(4-8l)y+4l\geq 0 (2)

Για να έχει η f σύνολο τιμών το R θα πρέπει η (2) να ισχύει για όλα τα πραγματικά y δηλαδή να ισχύει

12+4l>0\Leftrightarrow l>-3  (3) και
\Delta \leq 0\Leftrightarrow (4-8l)^{2}-16l(12+4l)\leq 0\Leftrightarrow ...l\geq 16 (4)

Με συναλήθευση των (3), (4) προκύπτει ότι πρέπει l\geq 16
Μυρτώ, θα μου επιτρέψεις να επισημάνω τα εξής:

1) Η δεύτερη ισοδυναμία που γράφεις ισχύει πάντοτε;
2) Ζητάμε να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο, συγκεκριμένα τον πραγματικό αριθμό l. Αφού εργάζεσαι με συνεπαγωγές (πρέπει), θα πρέπει να εξετάσεις και το αντίστροφο.
3) Είναι βέβαιο ότι η εξίσωση (1) είναι δεύτερου βαθμού και σχηματίζεις την διακρίνουσα ( αν y=1);
Φιλικά.


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Άβαταρ μέλους
spyros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:15 am

Re: Σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spyros » Τρί Ιούλ 10, 2012 5:36 pm

Οι περιορισμοί για την παράμετρο l μπορεί να προκύψουν και με την εξής σκέψη. Αφού θέλουμε για την f\left( x \right) το {R_f} να είναι το R πρέπει να παίρνει και την τιμή μηδέν, που αυτό γίνεται αν {x^2} - l = 0 και {x^2} - 4x + 1 - l \ne 0. Πρέπει λοιπόν l \ge 0. Στην περίπτωση που l > 0 είναι x = \sqrt l και l - 4\sqrt l  + 1 - l \ne 0 \Leftrightarrow l \ne \frac{1}{{16}} (για x =  - \sqrt l δεν βγαίνει κάποιος περιορισμός για το l ). Οπότε
\begin{array}{l} 
{R_f} = \left\{ {y \in R:\exists x \in R,{x^2} - 4x + 1 - l \ne 0\ {\rm{ \kappa \alpha \iota  }}\ y = \frac{{{x^2} - l}}{{{x^2} - 4x + 1 - l}}} \right\} =\\ 
=  \left\{ {y \in R:\exists x \in R,{x^2} - 4x + 1 - l \ne 0\ {\rm{ \kappa \alpha \iota  }}\ y\left( {{x^2} - 4x + 1 - l} \right) = {x^2} - l{\rm{ ~ \color{red}(1)}}} \right\} = \\ 
\left\{ {y \in R:\exists x \in R,{x^2} - 4x + 1 - l \ne 0\ {\rm{ \kappa \alpha \iota  }} \left( {y - 1} \right){x^2} - 4yx + \left( {1 - l} \right)y + l = 0{\rm{ }}~ \color{red}(2)} \right\} 
\end{array}
Όμως αν υπάρχει x \in R που να επαληθεύει την (2) τότε υποχρεωτικά θα έχουμε {x^2} - 4x + 1 - l \ne 0 διότι διαφορετικά από την (1) θα ήταν και {x^2} - l = 0 δηλαδή αριθμητής και παρονομαστής θα είχαν κοινή ρίζα πράγμα όμως που δεν συμβαίνει αφού l \ne \frac{1}{{16}} (για l = \frac{1}{{16}} η εξίσωση f\left( x \right) = 1 είναι αδύνατη στο πεδίο ορισμού {A_f} δηλαδή το {R_f}δεν είναι το R). Άρα από την (2) πρέπει και αρκεί \Delta  \ge 0 δηλαδή \left( {3 + l} \right){y^2} + \left( {1 - 2l} \right)y + l \ge 0 .
Από την θεωρία του τριωνύμου θα πρέπει \left\{ \begin{array}{l} 
3 + l > 0\\ 
{\Delta _1} \le 0 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
l  >  - 3\\ 
{\left( {1 - 2l } \right)^2} - 4\left( {3 + l } \right)l  \le 0 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
l >  - 3\\ 
l  \ge \frac{1}{{16}} 
\end{array} \right. δηλαδή l \ge \frac{1}{{16}} . ΤΕΛΙΚΑ \displaystyle{{\colorbox{orange}{\color{blue}\boxed{\displaystyle l>\frac{1}{16}}}
Η περίπτωση l = 0 μπορεί να εξεταστεί ξεχωριστά , τότε όμως διαπιστώνουμε ότι το το {R_f} δεν είναι το R (κοίτα σχήμα)
Συνημμένα
Clipboard01.png
Clipboard01.png (22.46 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές


\displaystyle{\bf\sqrt{\Sigma \pi \upsilon \rho o \varsigma}^{2}
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιούλ 11, 2012 10:18 am

Ευχαριστώντας τον Α. Κυριακόπουλο την Μυρτώ (pito) και τον Σπύρο (spyros), " καταθέτω " την ημέτερη διαπραγμάτευση:

Θεωρούμε την εξίσωση ως προς
x \in {\Cal R},\quad y\left( {x^2  - 4x + 1 + l} \right) = x^2  - l\; \Leftrightarrow \;\left( {y - 1} \right)x^2  - 4yx + \left( {1 - l} \right)y + l =0\;\;\left( 1 \right),
για την οποία θα προσδιορίσουμε την παράμετρο l \in {\Cal R}, ώστε αυτή η εξίσωση να έχει λύση για κάθε πραγματικό y, με x^2  - 4x + 1 - l \ne 0.
Για y=1 παίρνουμε x = \frac{1}{4}
με \left( {\frac{1}{4}} \right)^2  - 4\left( {\frac{1}{4}} \right) + 1 - l \ne 0, όταν l \ne \frac{1}{{16}}.
Για y \ne 1, θεωρούμε την διακρίνουσα της σχέσης (1) θετική ή μηδέν, οπότε παίρνουμε 4y^2  - \left( {y - 1} \right)\left[ {\left( {1 - l} \right)y + l} \right] \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {3 + l} \right)y^2  + \left( {1 - 2l} \right)y + l \geqslant 0\quad \left( 2 \right) για κάθε y \ne 1, με την σχέση (2) να ισχύει και για y=1, οπότε θα πρέπει 3 + l > 0,\quad \left( {1 - 2l} \right)^2  - 4l\left( {3 + l} \right) \leqslant 0 \Rightarrow l \geqslant \frac{1} 
{{16}} \Rightarrow l > \frac{1} 
{{16}}
Για l > \frac{1}{{16}} η διακρίνουσα του τριωνύμου
p\left( x \right) \equiv x^2  - 4x + 1 - l\;\;/{\Cal R} είναι D = 4\left( {l + 3} \right) > 0, οπότε έχουμε σαν ρίζες της εξίσωσης x_1  = 2 - \sqrt {3 + l} ,\;\;x_2  = 2 + \sqrt {3 + l}, άρα έχουμε x \in {\Cal R} - \left\{ {2 - \sqrt {3 + l} ,\;2 + \sqrt {3 + l} } \right\}.
Παρατηρούμε (πράξεις) ότι \left( {y - 1} \right)\left( {2 - \sqrt {3 + l} } \right)^2  - 4y\left( {2 - \sqrt {3 + l} } \right) + \left( {1 - l} \right)y + l \ne 0 και
\left( {y - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3 + l} } \right)^2  - 4y\left( {2 + \sqrt {3 + l} } \right) + \left( {1 - l} \right)y + l \ne 0, αν και μόνο αν l > \frac{1} {{16}} .
Τελικά όταν έχουμε l > \frac{1} 
{{16}} , ισχύει η σχέση x^2  - 4x + 1 - l \ne 0 που σημαίνει, ότι το σύνολο ορισμού της συνάρτησης μας είναι το σύνολο {\Cal R} - \left\{ {2 - \sqrt {3 + l} ,\;2 - \sqrt {3 + l} } \right\} και το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης