Με σύνθεση συναρτήσεων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Με σύνθεση συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Ιούλ 05, 2012 5:58 pm

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}} με \displaystyle{f(f(x))=x^{2011},\ \forall x \in \Bbb{R}}.

Να αποδείξετε ότι

α) \displaystyle{\sqrt[2011]{f(x)}=f\left(\sqrt[2011]{x}\right),\ \forall x \in \Bbb{R}}

b)Υπάρχουν \displaystyle{a,b,c \in \Bbb{R}} ώστε \displaystyle{f(a)+f(b)+f(c)=f(a)f(b)f(c)}

Concursul Petre Sergescu 2011.

*Έκανα αρχικά μία παρέμβαση στην άσκηση, γράφοντας \displaystyle{\forall x>0}, επειδή με τα δικά μας δεδομένα δεν ορίζουμε την \displaystyle{\sqrt[2011]{x}},

για \displaystyle{x<0}, αλλά, όπως μου επισήμανε ο Χρήστος Κυριαζής έτσι τα πράγματα δυσκολεύουν πολύ. Για το λόγο αυτό την επαναφέρω στην

αρχική της μορφή. Θεωρήστε λοιπόν ότι η \displaystyle{\sqrt[2n+1]{x}} έχει νόημα και στους αρνητικούς.


Σπύρος Καπελλίδης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Με σύνθεση συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Πέμ Ιούλ 05, 2012 7:31 pm

\displaystyle{ 
f(f(x)) = x^{2011} \,\,\,(1)\,\,\forall x \in R}

α) Θέτοντας στην \displaystyle{(1)} όπου \displaystyle{x} το \displaystyle{f(x)} παίρνουμε ότι για κάθε \displaystyle{x \in R} ισχύει \displaystyle{ 
f(f(f(x))) = (f(x))^{2011} \,\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \,\,\,f\left( {x^{2011} } \right) = (f(x))^{2011} \,\,\,(2)}

Από την \displaystyle{(2)} προκύπτει ότι \displaystyle{f(x) = \sqrt[{2011}]{{f\left( {x^{2011} } \right)}}} για κάθε \displaystyle{x \in R} και τώρα θέτοντας όπου \displaystyle{x} την \displaystyle{\sqrt[{2011}]{x}} παίρνουμε \displaystyle{f\left( {\sqrt[{2011}]{x}} \right) = \sqrt[{2011}]{{f(x)}}} , για κάθε \displaystyle{x \in R}

β) Από την \displaystyle{(1)} εύκολα προκύπτει ότι η \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1 - 1}

Από την (2) διαδοχικά βρίσκουμε

\displaystyle{f(0) = (f(0))^{2011} \,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow f(0) = 0\,} ή \displaystyle{f(0) = 1\,} ή \displaystyle{f(0) =  - 1}

\displaystyle{ 
f(1) = (f(1))^{2011} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow f(1) = 0\,\,} ή \displaystyle{f(1) = 1\,} ή \displaystyle{f(1) =  - 1}

\displaystyle{ 
f( - 1) = (f( - 1))^{2011}  \Rightarrow f( - 1) = 0\,} ή \displaystyle{f( - 1) = 1\,} ή \displaystyle{f( - 1) =  - 1}

Επειδή η \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1 - 1} θα είναι \displaystyle{f(0) \ne f(1) \ne f( - 1) \ne f(0)} και συνεπώς \displaystyle{f(0) + f(1) + f( - 1) = f(0)f(1)f( - 1) = 0}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης