Αντιστρέψιμη...

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Αντιστρέψιμη...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Τετ Ιούλ 11, 2012 5:43 am

Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,+\infty ) και για κάθε x>0,y>0 ισχύει f(xy)=f(x)+f(y).
Aν η f έχει μοναδική ρίζα την x=1 να αποδειχθεί ότι είναι αντιστρέψιμη.


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int  \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x}  \imath T y
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Αντιστρέψιμη...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Ιούλ 11, 2012 7:37 am

maths-!!! έγραψε:Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,+\infty ) και για κάθε x>0,y>0 ισχύει
f(xy)=f(x)+f(y),~~(1).
Aν η f έχει μοναδική ρίζα την x=1\color{red}(*) να αποδειχθεί ότι είναι αντιστρέψιμη.
καλημέρα Δημήτρη.

αρκεί να δείξουμε ότι \forall x_1,x_2>0 με f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2

\displaystyle{y:\frac{1}{x},~~(1)\longrightarrow f(x)+f(\frac{1}{x})=f(1)=0}
---

\displaystyle{f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow f(x_1)=-f(\frac{1}{x_2})\Rightarrow f(x_1)+f(\frac{1}{x_2})=0\stackrel{(1)}\Rightarrow f(\frac{x_1}{x_2})=0\\\stackrel{\color{red}(*)}\Longrightarrow \frac{x_1}{x_2}=1\Rightarrow x_1=x_2}


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης