1-1;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

1-1;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 18, 2012 7:54 pm

Να εξετάσετε αν είναι 1-1 η συνάρτηση f:\Bbb{R}\to\Bbb{R} τέτοια ώστε (a^{3}-b^{3})f(b)>a^{3}(f(a)-f(b)) για κάθε a,b{\in} \Bbb{R}, \ a {\neq}b .


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1396
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: 1-1;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Ιούλ 18, 2012 8:08 pm

Έχουμε ότι:

\displaystyle{\left( {{a^3} - {b^3}} \right)f\left( b \right) > {a^3}\left( {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right)} \bf \color{red} \left( 1 \right)

για κάθε \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}} με \displaystyle{a \ne b}.

Εναλλάσσοντας τα \displaystyle{a,b } στη σχέση \bf \color{red} \left( 1 \right) έχουμε ότι:

\displaystyle{\left( {{b^3} - {a^3}} \right)f\left( a \right) > {b^3}\left( {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right)} \bf \color{red} \left( 2 \right)

για κάθε \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}} με \displaystyle{a \ne b}.

Έστω ότι υπάρχουν \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}} με \displaystyle{a \ne b} τέτοια, ώστε \displaystyle{{f\left( a \right) = f\left( b \right)}}. Τότε, από τις σχέσεις \bf \color{red} \left( 1 \right) και \bf \color{red} \left( 2 \right) προκύπτει ότι:

\displaystyle{\left( {{a^3} - {b^3}} \right)f\left( b \right) > 0} και \displaystyle{\left( {{b^3} - {a^3}} \right)f\left( a \right) > 0,}

οπότε με πολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει ότι

\displaystyle{ - {\left( {{a^3} - {b^3}} \right)^2}{\left( {f\left( a \right)} \right)^2} > 0,}

που είναι άτοπο. Ώστε, η \displaystyle{f} είναι 1-1.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: 1-1;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 18, 2012 8:25 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης