Πράκτις

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Πράκτις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 18, 2012 8:46 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f(xy){\ge}f(x)+f(y){\ge}\frac{\ln(xy)}{1+|\ln x{\cdot} \ln y|} , \  \forall x,y \in\mathbb{R}^+.}

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2743234


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Πράκτις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Παρ Ιούλ 20, 2012 9:37 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε

\displaystyle{ f(xy){\ge}f(x)+f(y){\ge}\frac{\ln(xy)}{1+|\ln x{\cdot} \ln y|,} ,~~{\color{blue}\bf(1)} \  \forall x,y \in\mathbb{R}^+.}

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2743234
για να δούμε...

x=y=1,~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(1)\geq 2f(1)\geq 0\Rightarrow f(1)=0

y=1,~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(x)\geq \ln x,~~x>0

\displaystyle{y=\frac{1}{x},~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(\frac{1}{x})=-f(x),~~{\color{blue}\bf(2)}}

\displaystyle{y:\frac{1}{y},~~{\color{blue}\bf(1)}\stackrel{~~{\color{blue}\bf(2)}}\Rightarrow  f(x)-f(y)\geq \frac{\ln{\frac{x}{y}}}{1+|\ln x \ln y|}}\displaystyle{\stackrel{x=1}\Longrightarrow f(y)\leq \ln y}

άρα f(x)=\ln x,x>0


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης