Υψηλή δύναμη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Υψηλή δύναμη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 18, 2012 9:18 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) , για κάθε x,y\in \Bbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Garfield
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 06, 2011 12:09 am

Re: Υψηλή δύναμη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Garfield » Τετ Ιούλ 18, 2012 11:51 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) , για κάθε x,y\in \Bbb{R}.

για x=y=0 παίρνουμε f(0)=0

για y=0 παίρνουμε f(x)=f(x^{2012}) και από αυτήν βάζοντας όπου x το -x παίρνουμε \displaystyle{ f(x)=f(x^{2012})=f(-x) } δηλαδή η f είναι άρτια.

για y=-x η σχέση της υπόθεσης μας δίνει \displaystyle{ f(x^{2012}) =0 \quad \forall x \in \mathbb R }

Από την τελευταία τώρα βάζοντας όπου x το \displaystyle{ \sqrt[12]{ |x|}} παίρνουμε \displaystyle{f(|x|)=0 \quad \forall x \implies f(x) =0 \quad \forall x \in [0 , +\infty)}

Επειδή όμως η f είναι άρτια έχουμε τελικά ότι: \displaystyle{\boxed{ f(x)=0 \quad \forall x \in \mathbb R }} η οποία προφανώς επαληθεύει την αρχική.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Υψηλή δύναμη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 18, 2012 11:54 pm

:coolspeak:


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης