f(2x)=2f(x)

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

f(2x)=2f(x)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Ιούλ 20, 2012 1:19 pm

Η συνάρτηση f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} είναι τέτοια ώστε f(x+f(y))+f(f(x)+y)=2x+2y, για κάθε x,y  \in  \mathbb{R} .

Να δείξετε ότι f(2x) = 2f(x), για κάθε x  \in  \mathbb{R} .

Ανοιχτό: Μπορούμε να βρούμε όλες τις συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα;


Θανάσης Κοντογεώργης
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: f(2x)=2f(x)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Ιούλ 20, 2012 1:49 pm

Μία ιδέα αν και δεν είμαι απόλυτα σίγουρος.

Εφόσον η f είναι συνάρτηση και D(f)=R ,τότε

(\forall x\in R )(\exists y\in R);f(x)=y

Ομοίως (\forall y\in R )(\exists x\in R);f(y)=x

Τότε για τα παραπάνω x,y η δοθείσα σχέση δίνει f(2x)+f(2y)=2x+2y για κάθε x,y\in R

Η τλευταία για y=x θα δώσει 2f(2x)=4x\Rightarrow f(2x)=2f(x) \forall x\in R

Είναι σωστή?


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: f(2x)=2f(x)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 20, 2012 4:58 pm

Όχι. Υπάρχουν δύο προβληματικά σημεία.

(α) Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι από το \mathbb{R} στο \mathbb{R} αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι επί. [Μπορεί όμως να αποδειχθεί για αυτήν συνάρτηση.]

(β) Παίρνεις x\in \mathbb{R} και βρίσκεις y ώστε f(y) = x. Μετά λες ότι για αυτό το συγκεκριμένο y «υπάρχει x \in \mathbb{R}» ώστε f(x) = y. Αυτό δεν μπορείς να το κάνεις διότι έχεις ήδη δευσμέυσει την μεταβλητή x. Μπορείς να πεις ότι υπάρχει z \in \mathbb{R} με f(z) = y αλλά δεν μπορείς να πεις ότι z=x.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: f(2x)=2f(x)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Ιούλ 20, 2012 6:36 pm

Έχετε δίκιο


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Σακης
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 11, 2009 9:06 pm

Re: f(2x)=2f(x)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σακης » Δευ Ιούλ 23, 2012 2:09 pm

Εφαρμόζω τη δοθείσα για x=y, οπότε προκύπτει f(y+f(y))=2y (1)

Άρα η f είναι συνάρτηση επί του R. Άρα \exists{c} \in{R} ώστε f(c)=0.

Η (1) για y=c δίνει c=0. Άρα f(0)=0.

Εφαρμόζω την αρχική για x=0 και άρα f(f(y))+ f(y)=2y. (2)

Εφαρμόζοντας την (1) για y=f(y) έχουμε f(f(y)+f(f(y)))=2f(y) (3)

Άπο (2), (3) προκύπτει f(2y)=2f(y).


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: f(2x)=2f(x)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιούλ 24, 2012 1:21 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης