Σελίδα 1 από 1

Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 27, 2012 3:52 am
από socrates
Για τη συνάρτηση f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} γνωρίζουμε ότι

|f(x) - f(y) | \leq |x-y| \ \forall x, y \ \in \mathbb{R} και f(f(f(0))) = 0.

Να δείξετε ότι |f(x)|  \leq |x| \ \forall x \ \in \mathbb{R}.

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 27, 2012 11:26 am
από achilleas
socrates έγραψε:Για τη συνάρτηση f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} γνωρίζουμε ότι

|f(x) - f(y) | \leq |x-y| \ \forall x, y \ \in \mathbb{R} και f(f(f(0))) = 0.

Να δείξετε ότι |f(x)|  \leq |x| \ \forall x \ \in \mathbb{R}.
Το παραπάνω αποτελεί άμεση συνέπεια από θέμα διαγωνισμού στη Μογγολία 2000.

Αρκεί να δείξουμε ότι f(0)=0. Πράγματι, ισχύει

\begin{aligned} 
|f(f(0))|&=|f(f(f(0)))-f(f(0))|\\ 
            &\leq |f(f(0))-f(0)|\\ 
            &\leq |f(0)|\quad (***)\\ 
            &=|f(f(f(0)))-f(0)|\\\notag 
           &\leq |f(f(0))|\notag 
\end{aligned}

Συνεπώς, |f(f(0))|=|f(0)|.

Αν f(0)=f(f(0)), τότε f(0)=f(f(f(0)))=0.

Αν f(0)=-f(f(0)), τότε από την (***), έπεται |2f(0)|\leq |f(0)|, δηλ. f(0)=0.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 27, 2012 2:53 pm
από socrates
Πού το θυμόσουν Αχιλλέα; :)

Υπάρχει εδώ http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/AoP ... onMO00.pdf.

Επίσης, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=350905