Σελίδα 1 από 1

Κλασσική αλλά πάντα όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 01, 2012 11:03 pm
από kostas136
Έστω συνάρτηση \displaystyle f: R\rightarrow R για την οποία ισχύει \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}[f(x)+2f(6-x)]=3

Να βρείτε, δικαιολογώντας ότι υπάρχει, το \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}f(x)

Re: Κλασσική αλλά πάντα όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 01, 2012 11:43 pm
από Mihalis_Lambrou
kostas136 έγραψε:Έστω συνάρτηση \displaystyle f: R\rightarrow R για την οποία ισχύει \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}[f(x)+2f(6-x)]=3

Να βρείτε, δικαιολογώντας ότι υπάρχει, το \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}f(x)
Θέτοντας x=6-y η δοθείσα γράφεται \displaystyle \lim_{y\rightarrow 3}[f(6-y)+2f(y)]=3.
Αλλάζοντας το όνομα της μεταβλητής στην προηγούμενη, προκύπτει \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}[f(6-x)+2f(x)]=3.
Αφαιρώντας το διπλάσιο της τελευταίας από την δοθείσα έπεται ότι το όριο υπάρχει και είναι \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}[-3f(x)]=-3 , οπότε
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}f(x)=1.

Φιλικά,

Μιχάλης

Re: Κλασσική αλλά πάντα όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 02, 2012 8:17 pm
από parmenides51
αυτήν την θυμάμαι :diablo: παγίδα είναι

την είχα πατήσει σε μια παρόμοια εδώ και δεν ξεχνώ :P

Re: Κλασσική αλλά πάντα όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 02, 2012 10:25 am
από pito
Να υποθέσω ότι στη λύση του κυρίου Λάμπρου δεν χρησιμοποιήσαμε ότι lim_{x\rightarrow 3}(-3f(x))=-3lim_{x\rightarrow 3}f(x)
( γιατί δεν ξέρουμε αν υπάρχει το lim_{x\rightarrow 3}f(x) ΑΛΛΑ θέσαμε g(x)=-3f(x), lim_{x\rightarrow 3}g(x)=-3, άρα
lim_{x\rightarrow 3}f(x)=lim_{x\rightarrow 3}(-\frac{g(x)}{3})=-\frac{1}{3}lim_{x\rightarrow 1}g(x)=1 ;;;;;

( Κάτι κολλήματα που έχω το πρωί! :wallbash: )