Μια φαινομενίκα απλή άσκηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Iason Pap.
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τετ Σεπ 23, 2009 8:49 pm

Μια φαινομενίκα απλή άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Iason Pap. » Σάβ Σεπ 26, 2009 2:44 pm

Καλησπέρα, ως πρώτη μου δημοσίευση ήθελα να κάνω μια άσκηση που μου φάνηκε αρκετά δύσκολη:

Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει f:R->R με ιδιότητα
f(f(x))=-x^3


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2653
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μια φαινομενίκα απλή άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Σεπ 26, 2009 3:15 pm

Αν υπάρχει τέτοια f, τότε θα είναι 1-1.

Αφού f(f(f(x)))=f(-x^3) και f(f(f(x)))=-f(x)^3, έχουμε
f(-x^3)=-f(x)^3 κι άρα f(0)=0, f(-1)=-f(1)^3, και f(1)=-f(-1)^3.

Συνεπώς, f(1)=f(1)^9, που μας δίνει f(1)=-1, 0 ή 1.

Αν f(1)=1 , τότε f(f(1))=f(1)=1,
ενώ από την ιδιότητα της f, είναι f(f(1))=-1, άτοπο.

Εφόσον f(0)=0 και η f είναι 1-1, απομένει να είναι f(1)=-1.

Αλλά έχουμε f(-1)=f(-1)^9, που μας δίνει f(-1)=-1, 0 ή 1,
από τις οποίες η μόνη αποδεκτή μπορεί να είναι η f(-1)=1.

Αλλά τότε f(f(1))=f(-1)=1, ενώ από την ιδιότητα της f είναι f(f(1))=-1, άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες