mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 07, 2012 3:05 am**

Έστω πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ η οποία είναι περιττή και αντιστρέψιμη. Να δείξετε ότι και η αντίστροφή της είναι περιττή.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 07, 2012 3:18 am**

Ας υποθέσουμε $f:A\to f(A)$ η συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

i) για κάθε $x\in A$ είναι $-x\in A$ και
ii) f(-x)=-f(x)

για κάθε $x\in A \ \ (1)$ .

Θεωρούμε τυχαίο $y_0\in f(A)$ . Τότε αφού η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, άρα υπάρχει μοναδικό $x_0\in A$ ώστε f(x_0)=y_0

και από την (1)

παίρνουμε

δηλαδή

οπότε $-y_0\in f(A)$ (διότι υπάρχει το $-x_0\in A$ ώστε f(-x_0)=-y_0

).

Από την άλλη αφού f(x_0)=y_0

άρα $f^{-1}(y_0)=x_0$ και αφού f(-x_0)=-y_0

άρα $f^{-1}(-y_0)=-x_0$ . Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες έχουμε $f^{-1}(-y_0)=-f^{-1}(y_0)$ για κάθε $y_0\in f(A)$ .

Άρα η $f^{-1}$ είναι περιττή.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 07, 2012 4:22 am**

το συμμετρικό $\displaystyle{F' }$ ενός σχήματος $\displaystyle{F }$ που έχει κέντρο συμμετρίας $\displaystyle{K}$ , ως προς μια ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$ είναι σχήμα με κέντρο συμμετρίας το σημείο $\displaystyle{K'}$ , το συμμετρικό του $\displaystyle{K}$ ως προς την ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$ και τα σημεία της ευθείας $\displaystyle{(\epsilon)}$ είναι σταθερά σημεία κατά τον μετασχηματισμό συμμετρίας ως προς την ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$

κι εδώ

mathematica.gr

Περιττή και Αντιστρέψιμη

Περιττή και Αντιστρέψιμη

Re: Περιττή και Αντιστρέψιμη

Re: Περιττή και Αντιστρέψιμη