Εύρεση τύπου

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εύρεση τύπου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Οκτ 03, 2009 5:03 pm

Έστω η 1-1 συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
f(f(x)+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y πραγματικούς αριθμούς. Να βρείτε τον τύπο της :mrgreen:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Οκτ 03, 2009 5:24 pm

Θέτουμε x=0 άρα f(f(0)+y)=f(0)+f(y) για κάθε y. Άρα f(f(0)+x)=f(0)+f(x) \ \ (1).

Θέτουμε στην αρχική y=0 άρα f(f(x))=f(x)+f(0) \ \ (2).

Από (1) και (2) αφού η f είναι 1-1 παίρνουμε f(x)=x+f(0) για οποιοδήποτε x.

Άρα f(x)=x+c η οποία επαληθεύει την αρχική για οποιοδήποτε c άρα είναι η ζητούμενη.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Οκτ 03, 2009 5:35 pm

Σωστά Αλέξανδρε
Την πόσταρα για να έχουμε να ασχοληθούμε με κάτι ;)
Μια άλλη προσέγγιση
Για x=y,y=x παίρνουμε ίσα δεύτερα μέλη και εξισώνοντας τα πρώτα έχουμε f(f(x)+y)=f(f(y)+x)
Επειδή είναι 1-1
f(x)+y=f(y)+x ισοδύναμα f(x)-x=f(y)-y=c(αφήνωντας σταθερό το y)
η οποία επαληθεύει την αρχική


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες